1、题目

给定两个字符串 text1 和 text2，返回这两个字符串的最长 公共子序列 的长度。如果不存在 公共子序列 ，返回 0 。

一个字符串的 子序列 是指这样一个新的字符串：它是由原字符串在不改变字符的相对顺序的情况下删除某些字符（也可以不删除任何字符）后组成的新字符串。

• 例如，"ace" 是 "abcde" 的子序列，但 "aec" 不是 "abcde" 的子序列。

两个字符串的 公共子序列 是这两个字符串所共同拥有的子序列。

示例 1：

输入：text1 = "abcde", text2 = "ace" 
输出：3  
解释：最长公共子序列是 "ace" ，它的长度为 3 。

示例 2：

输入：text1 = "abc", text2 = "abc"
输出：3
解释：最长公共子序列是 "abc" ，它的长度为 3 。

示例 3：

输入：text1 = "abc", text2 = "def"
输出：0
解释：两个字符串没有公共子序列，返回 0 。

提示：

• 1 <= text1.length, text2.length <= 1000
• text1 和 text2 仅由小写英文字符组成。

2、思路

**(动态规划)**O ( n m ) O(nm)O(nm)

给定两个字符串 text1 和 text2，返回这两个字符串的最长 公共子序列 的长度 (子序列可以不连续)。

样例：

如样例所示，字符串abcde与字符串ace的最长公共子序列为ace，长度为3。最长公共子序列问题是典型的二维动态规划问题，下面来讲解动态规划的做法。

状态表示： 定义 f[i][j]表示字符串text1的[1,i]区间和字符串text2的[1,j]区间的最长公共子序列长度（下标从1开始）。

状态计算：

可以根据text1[i]和text2[j]的情况，分为两种决策：

• 1、若text1[i] == text2[j] ，也就是说两个字符串的最后一位相等，那么问题就转化成了字符串text1的[1,j-1]区间和字符串text2的[1,j-1]区间的最长公共子序列长度再加上一，即f[i][j] = f[i - 1][j - 1] + 1。（下标从1开始）

• 2、若text1[i] != text2[j]，也就是说两个字符串的最后一位不相等，那么字符串text1的[1,i]区间和字符串text2的[1,j]区间的最长公共子序列长度无法延长，因此f[i][j]就会继承f[i-1][j]与f[i][j-1]中的较大值，即f[i][j] = max(f[i - 1][j],f[i][j - 1]) 。 （ 下标从1开始）

• 如上图所示：我们比较text1[3]与text2[3]，发现'f'不等于'e'，这样f[3][3]无法在原先的基础上延长，因此继承"ac"与"cfe"，"acf"与"cf"的最长公共子序列中的较大值，即 f[3][3] = max(f[2][3] ,f[3][2]) = 2。

因此，状态转移方程为：

f[i][j] = f[i-1][j-1] + 1 ,当text1[i] == text2[j]。

f[i][j] = max(f[i - 1][j],f[i][j - 1])，当text1[i] != text2[j]​ 。

初始化：

f[i][0] = f[0][j] = 0，(0 <=i<=n, 0<=j<=m)

空字符串与有长度的字符串的最长公共子序列长度肯定为0。

实现细节：

我们定义的状态表示f数组和text数组下标均是从1开始的，而题目给出的text数组下标是从0开始的，为了一 一对应，在判断text1和text2数组的最后一位是否相等时，往前错一位，即使用text1[i - 1]和text2[j - 1]来判断。

**时间复杂度分析：**O ( n m ) O(nm)O(nm)，其中n nn 和 m mm 分别是字符串 text1 和 text2的长度。

3、c++代码

class Solution {
public:
    int longestCommonSubsequence(string text1, string text2) {
        int n = text1.size(), m = text2.size();
        vector<vector<int>> f(n + 1, vector<int>(m + 1, 0));
        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            for (int j = 1; j <= m; ++j) {
                if (text1[i - 1] == text2[j - 1]) {
                    f[i][j] = f[i - 1][j - 1] + 1;
                } else {
                    f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i][j - 1]);
                }
            }
        }
        return f[n][m];
    }
};

4、java代码

class Solution {
    public int longestCommonSubsequence(String text1, String text2) {
        int n = text1.length(), m =  text2.length();
        int[][] f = new int[n + 1][m + 1];
        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            for (int j = 1; j <= m; ++j) {
                if (text1.charAt(i - 1) == text2.charAt(j - 1)) {
                    f[i][j] = f[i - 1][j - 1] + 1;
                } else {
                    f[i][j] = Math.max(f[i - 1][j], f[i][j - 1]);
                }
            }
        }
        return f[n][m];
    }
}

原题链接：1143. 最长公共子序列