一、时间和空间复杂度出现的意义

1.数据结构和算法解决是“如何让计算机更快时间、更省空间的解决问题”。
2.因此需从执行时间和占用空间两个维度来评估数据结构和算法的性能。
3.分别用时间复杂度和空间复杂度两个概念来描述性能问题，二者统称为复杂度

提到时间复杂度，我们就会想，我把代码跑一遍，通过统计、监控，就能得到算法执行的时间和占用的内存大小。为什么还要做时间、空间复杂度分析呢？这种分析方法能比我实实在在跑一遍得
到的数据更准确吗？

是的，事实上也是可以这样的，很多书籍把这种方法叫做：事后统计法，但是有以下劣势：

1. 测试结果非常依赖测试环境
2. 测试结果非常依赖测试环境

因此，我们需要在代码执行前，就需要知道他的时间和空间复杂度如何，这样更有利于我们调试和优化代码。

所以，我们需要一个不用具体的测试数据来测试，就可以粗略地估计算法的执行效率的方法。这就是我们今天要讲的时间、空间复杂度分析方法

二、大O复杂度表示法

看以下代码，是求 1,2,3,n累计和。
从CPU的角度讲，这段代码的每一行都执行着类似的操作：读数据-运算-写数据，尽管，每行代码对应的CPU执行额个数，时间不同，但我们可以粗略估计是一样的，为unit_time，那么就可以得出

这段代码总的执行时间就是 (2n+2)/*unit_time。可以看出来，所有代码的执行时间 T(n) 与每行代码的执行次数成正比。

public static int cal(int n) {
 int sum = 0;
 int i = 1;
 for (; i <= n; ++i) {
 sum = sum + i;
 }
 return sum;
 }

接下来看这段代码
整段代码总的执行时间 T(n) = (2n +2n+3)/*unit_time。

public static int cal(int n) {
 int sum = 0;
 int i = 1;
 int j = 1;
 for (; i <= n; ++i) {
 j = 1;
 for (; j <= n; ++j) {
 sum = sum + i * j;
 }
 }
 }

尽管我们不知道 unit_time 的具体值，但是通过这两段代码执行时间的推导过程，我们可
以得到一个非常重要的规律，那就是，所有代码的执行时间 T(n) 与每行代码的执行次数 n
成正比。
总结成公式为：

含义解释如下：

T(n) 它表示代码执行的时间；
n 表示数据规模的大小；
f(n) 表示每行代码执行的次数总和。因为这是一个公式，所以用 f(n)来表示。
公式中的 O，表示代码的执行时间 T(n) 与 f(n) 表达式成正比。

第一个例子中的 T(n) = O(2n+2)，第二个例子中的 T(n) = O(2n +2n+3)。这就是
大 O 时间复杂度表示法。大 O 时间复杂度实际上并不具体表示代码真正的执行时间，而是
表示代码执行时间随数据规模增长的变化趋势，所以，也叫作渐进时间复杂度
（asymptotic time complexity），简称时间复杂度

当 n 很大时，你可以把它想象成 10000、100000。而公式中的低阶、常量、系数三部分并
不左右增长趋势，所以都可以忽略。我们只需要记录一个最大量级就可以了，如果用大 O
表示法表示刚讲的那两段代码的时间复杂度，就可以记为：T(n) = O(n)； T(n) = O(n )。

三、时间复杂度分析

1. 只关注循环执行次数最多的一段代码
下面代码时间复杂度分析：
其中第 2、3 行代码都是常量级的执行时间，与 n 的大小无关，所以对于复杂度并没有影
响。循环执行次数最多的是第 4、5 行代码，所以这块代码要重点分析。
这两行代码被执行了 n 次，所以总的时间复杂度就是 O(n)。

public static int cal(int n) {
 int sum = 0;
 int i = 1;
 for (; i <= n; ++i) {
 sum = sum + i;
 }
 return sum;
 }

2. 加法法则：总复杂度等于量级最大的那段代码的复杂度

pubic int cal(int n) {
 int sum_1 = 0;
 int p = 1;
 for (; p < 100; ++p) {
 	sum_1 = sum_1 + p;
 }
 
 int sum_2 = 0;
 int q = 1;
 for (; q < n; ++q) {
 	sum_2 = sum_2 + q;
 }
 
 int sum_3 = 0;
 int i = 1;
 int j = 1;
 for (; i <= n; ++i) {
	 j = 1; 
	 for (; j <= n; ++j) {
 		sum_3 = sum_3 + i * j;
 	}
 }
 return sum_1 + sum_2 + sum_3;
 }

这段代码循环执行了 100 次，所以是一个常量的执行时间，跟 n 的规模无关。

即便这段代码循环 10000 次、100000 次，只要是一个已知的数，跟 n 无关，照样也是常量级的执行时间。当 n 无限大的时候，就可以忽略。

尽管对代码的执行时间会有很大影响，但是回到时间复杂度的概念来说，它表示的是一个算法执行效率与数据规模增长的变化趋势，所以不管常量的执行时间多大，我们都可以忽略掉。因为它本身
对增长趋势并没有影响。

那第二段代码和第三段代码的时间复杂度是 O(n) 和 O(n )

综合这三段代码的时间复杂度，我们取其中最大的量级。所以，整段代码的时间复杂度就为
O(n2 )。
也就是说：总的时间复杂度就等于量级最大的那段代码的时间复杂度。
那我们将这个规律抽象成公式就是：
如果 T1(n)=O(f(n))，T2(n)=O(g(n))；那么 T(n)=T1(n)+T2(n)=max(O(f(n)), O(g(n)))
=O(max(f(n), g(n))).

3. 乘法法则：嵌套代码的复杂度等于嵌套内外代码复杂度的乘积

刚刚提到加法法则，那么类比一下，乘法法则为：
如果 T1(n)=O(f(n))，T2(n)=O(g(n))；那么
T(n)=T1(n)/*T2(n)=O(f(n))/*O(g(n))=O(f(n)/*g(n)).

也就是说，假设 T1(n) = O(n)，T2(n) = O(n )，则 T1(n) /* T2(n) = O(n )。

public int cal(int n) {
 int ret = 0; 
 int i = 1;
 for (; i < n; ++i) {
 	ret = ret + f(i);
  } 
 } 
 int f(int n) {
 	int sum = 0;
 	int i = 1;
 	for (; i < n; ++i) {
	 sum = sum + i;
  } 
 return sum;
 }

我们单独看 cal() 函数。假设 f() 只是一个普通的操作，那第 4～6 行的时间复杂度就是，
T1(n) = O(n)。但 f() 函数本身不是一个简单的操作，它的时间复杂度是 T2(n) = O(n)，所
以，整个 cal() 函数的时间复杂度就是，T(n) = T1(n) /* T2(n) = O(n/*n) = O(n )。

四、常见的时间复杂度

对于刚罗列的复杂度量级，我们可以粗略地分为两类，多项式量级和非多项式量级。其中，
非多项式量级只有两个：O(2 ) 和 O(n!)。
当数据规模 n 越来越大时，非多项式量级算法的执行时间会急剧增加，求解问题的执行时
间会无限增长。所以，非多项式时间复杂度的算法其实是非常低效的算法。

接下来主要说协议爱多项式时间复杂度

1. O(1)
O(1) 只是常量级时间复杂度的一种表示方法，并不是指只执行了一行代码。比如这段代码，即便有 3 行，它的时间复杂度也是 O(1），而不是 O(3)。

只要代码的执行时间不随 n 的增大而增长，这样代码的时间复杂度我们都记作 O(1)。
或者说，一般情况下，只要算法中不存在循环语句、递归语句，即使有成千
上万行的代码，其时间复杂度也是Ο(1)。

int a = 1;
int b  =2;
int c = 3;

2. O(logn)、O(nlogn)
根据我们前面讲的复杂度分析方法，第三行代码是循环执行次数最多的。所以，我们只要能
计算出这行代码被执行了多少次，就能知道整段代码的时间复杂度.

从代码中可以看出，变量 i 的值从 1 开始取，每循环一次就乘以 2。当大于 n 时，循环结
束。还记得我们高中学过的等比数列吗？实际上，变量 i 的取值就是一个等比数列。
把它一个一个列出来，就应该是这个样子的：

所以，我们只要知道 x 值是多少，就知道这行代码执行的次数了。通过 2 =n 求解 x 。
x=log n，所以，这段代码的时间复杂度就是 O(log n)。

i=1;
 while (i <= n) {
 i = i * 2;
 }

如果是以下代码呢，答案是O(log3 n)。

i=1;
 while (i <= n) {
 i = i * 3;
 }

实际上，不管是以 2 为底、以 3 为底，还是以 10 为底，我们可以把所有对数阶的时间复
杂度都记为 O(logn)。

我们知道，对数之间是可以互相转换的，log 3n 就等于 log 3 2 /* log2 n，所以 O(log n) =
O(C /* log n)，其中 C=log3 2 是一个常量。
基于我们前面的一个理论：在采用大 O 标记复杂度的时候，可以忽略系数，即 O(Cf(n)) = O(f(n))。所以，O(log n) 就等于 O(log n)。
因此，在对数阶时间复杂度的表示方法里，我们忽略对数的“底”，统一表示为 O(logn)。

如果一段代码的时间复杂度是 O(logn)，我们循环执行 n 遍，时间复杂度就是
O(nlogn) 了。而且，O(nlogn) 也是一种非常常见的算法时间复杂度。比如，归并排序、
快速排序的时间复杂度都是 O(nlogn)。

*3. O(m+n)、O(m/n)
从代码中可以看出，m 和 n 是表示两个数据规模。我们无法事先评估 m 和 n 谁的量级
大，所以我们在表示复杂度的时候，就不能简单地利用加法法则，省略掉其中一个。所以，
上面代码的时间复杂度就是 O(m+n)。

针对这种情况，原来的加法法则就不正确了，我们需要将加法规则改为：T1(m) + T2(n) =
O(f(m) + g(n))。但是乘法法则继续有效：T1(m)/T2(n) = O(f(m) / f(n))。

public int cal(int m, int n) {
 int sum_1 = 0;
 int i = 1;
 for (; i < m; ++i) {
	 sum_1 = sum_1 + i;
 }
 int sum_2 = 0;
 int j = 1;
 for (; j < n; ++j) {
 	sum_2 = sum_2 + j;
 }
 return sum_1 + sum_2;
}

五、空间复杂度分析

时间复杂度的全称是渐进时间复杂度，表示算法的执行时间与数据规模之间的
增长关系。类比一下，空间复杂度全称就是渐进空间复杂度（asymptotic space
complexity），表示算法的存储空间与数据规模之间的增长关系。

public void print(int n) {
 int i = 0;
 int[] a = new int[n];
 for (i; i <n; ++i) {
 a[i] = i * i;
 }
 for (i = n-1; i >= 0; --i) {
 print out a[i]
 }
}

跟时间复杂度分析一样，我们可以看到，第 2 行代码中，我们申请了一个空间存储变量 i，
但是它是常量阶的，跟数据规模 n 没有关系，所以我们可以忽略。第 3 行申请了一个大小
为 n 的 int 类型数组，除此之外，剩下的代码都没有占用更多的空间，所以整段代码的空
间复杂度就是 O(n)。
我们常见的空间复杂度就是 O(1)、O(n)、O(n )，像 O(logn)、O(nlogn) 这样的对数阶复
杂度平时都用不到。而且，空间复杂度分析比时间复杂度分析要简单很多。所以，对于空间
复杂度，掌握刚这些内容已经足够了。