1、题目

给定一个数字，我们按照如下规则把它翻译为字符串：0 翻译成 “a” ，1 翻译成 “b”，……，11 翻译成 “l”，……，25 翻译成 “z”。一个数字可能有多个翻译。请编程实现一个函数，用来计算一个数字有多少种不同的翻译方法。

示例 1:

输入: 12258
输出: 5
解释: 12258有5种不同的翻译，分别是"bccfi", "bwfi", "bczi", "mcfi"和"mzi"

提示：

• 0 <= num < 2^31

2、思路

**(动态规划)**O ( l o g n ) O(logn)O(logn)

给定我们一个数字num，按照题目所给定的规则将其翻译成字符串，问一个数字有多少种不同的翻译方法。

样例：

我们先来理解一下题目的翻译规则，如样例所示，num = 12258，可以分为两种情况：

• 1、将每一位单独翻译，因此可以翻译成"bccfi"。
• 2、将相邻两位组合起来翻译（组合的数字范围在10 ~ 25之间），因此可以翻译成"bwfi", "bczi", "mcfi"和"mzi"。

两种情况是或的关系，互不影响，将其相加，那么12258共有5种不同的翻译方式。为了可以很方便的将数字的相邻两位组合起来，我们可以先将数字num转化成字符串数组s[]，下面来讲解动态规划的做法。

状态表示：

我们定义f[i]表示前i个数字一共有多少种不同的翻译方法。那么，f[n]就表示前n个数字一共有多少种不同的翻译方法，即为答案。

状态计算:

假设字符串数组为s[]，对于第i个数字，分成两种决策：

• 1、单独翻译s[i]。由于求的是方案数，如果确定了第i个数字的翻译方式，那么翻译前i个数字和翻译前i - 1个数的方法数就是相同的，即f[i] = f[i - 1]。(s[]数组下标从1开始)

2、将s[i]和s[i - 1]组合起来翻译(组合的数字范围在10 ~ 25之间)。如果确定了第i个数和第i - 1个数的翻译方式，那么翻译前i个数字和翻译前i - 2个数的翻译方法数就是相同的，即f[i] = f[i - 2]。(s[]数组下标从1开始)

最后将两种决策的方案数加起来，因此，状态转移方程为：f[i] = f[i - 1] + f[i - 2]。

初始化：

f[0] = 1，翻译前0个数的方法数为1。

为什么一个数字都没有的方案数是1？

f[0]代表翻译前0个数字的方法数，这样的状态定义其实是没有实际意义的，但是f[0]的值需要保证边界是对的，即f[1]和f[2]是对的。比如说，翻译前1个数只有一种方法，将其单独翻译，即f[1] = f[1 - 1] = 1。翻译前两个数，如果第1个数和第2个数可以组合起来翻译，那么f[2] = f[1] + f[0] = 2 ，否则只能单独翻译第2个数，即f[2] = f[1] = 1。因此，在任何情况下f[0]取1都可以保证f[1]和f[2]是正确的，所以f[0]应该取1。

实现细节:

我们将数字num转为字符串数组s[]，在推导状态转移方程时，假设的s[]数组下标是从1开始的，而实际中的s[]数组下标是从0开始的，为了一 一对应，在取组合数字的值时，要把s[i - 1] 和 s[i]的值往前错一位，取s[i - 1]和s[i - 2]，即组合值t = (s[i - 2] - '0') /* 10 + s[i - 1] - '0'。

在推导状态转移方程时，一般都是默认数组下标从1开始，这样的状态表示可以和实际数组相对应，理解起来会更清晰，但在实际计算中要错位一下，希望大家注意下。

**时间复杂度分析：**O ( l o g n ) O(logn)O(logn)，计算的次数是nums的位数，即logn​，以10为底。

**空间复杂度分析：**O ( n ) O(n)O(n)。

3、c++代码

class Solution {
public:
    int translateNum(int num) {
        string s = to_string(num); //将数字转为字符串
        int n = s.size();
        vector<int> f(n + 1);
        f[0] = 1;      //初始化
        for(int i = 1; i <= n; i++){
            f[i] = f[i - 1]; //单独翻译s[i]
            if(i > 1){ 
                int t = (s[i - 2] - '0') * 10 + s[i - 1] - '0';
                if(t >= 10 && t <= 25)    //组合的数字范围在10 ~ 25之间
                    f[i] += f[i - 2];     //将s[i] 和 s[i - 1]组合翻译
            }
        }
        return f[n];
    }
};

4、java代码

class Solution {
    public int translateNum(int num) {
        String s = String.valueOf(num); // 将数字转为字符串
        int n = s.length();
        int[] f = new int[n + 1];
        f[0] = 1;  //初始化
        for(int i = 1; i <= n; i++){
            f[i] = f[i - 1];  //单独翻译s[i]
            if(i > 1){
                int t = (s.charAt(i - 2) - '0') * 10 + s.charAt(i - 1) - '0';
                if(t >= 10 && t <= 25) //组合的数字范围在10 ~ 25之间
                    f[i] += f[i - 2];  //将s[i] 和 s[i - 1]组合翻译
            }
        }
        return f[n];
    }
}