**摘要：**公式树模块的作用是，从训练集X和function_set中进行随机采样，生成一棵公式树，同时提供子树变异、 crossover、hoist变异和点变异的方法。

本文分享自华为云社区《公式树开源库分析》，作者：鲤鱼君 。

1.公式树模块

公式树模块的作用是，从训练集X和function_set中进行随机采样，生成一棵公式树，同时提供子树变异、 crossover、hoist变异和点变异的方法。

1.1基本属性

1.2方法

1.3 build_tree算法原理

用到的数据结构:

terminal_stack: 存储是几元运算的一个栈

symbol_tree: lisp_tree 列表树, Lisp列表是基于广义表的结构，所以很容易将一个列表表达成树结构。 S-表达式可能以其在Lisp家族的编程语言中的使用而为人所知，约翰·麦卡锡发明LISP于1958年，首次由史蒂夫·拉塞尔实施在IBM704计算机上，它特别适合用于人工智能方案，因为它有效地处理的符号信息。

在前缀表示法，运算符在自己操作数前写。例如，表达式

a * ( b + c ) / d

被写成

(/ (* a (+ b c) ) d)

例如公式：

它也可以写作：

写成S表达式就变成了这个

对应的二叉树

也就是说s表达式对应于符号树的先序遍历

算法输入:function_set[‘add’, ‘sub’, ‘mul’] , arities{2:[‘add’, ‘sub’, ‘mul’]}, method: grow , max_depth:3(2-4内的一个随机数)

method: grow
n_features: 10
max_depth:2
function_index:0
function地址:<functions._Function object at 0x000001E538356EB0>
function_name:add
program:[add]
terminal_stack:[2]
循环部分
############LOOP##########################
第1次
depth: 1 # program的长度也就是符号树的list表长度 等于 len(terminal_stack)
choice: 13
choice_index: 1 #depth < max_depth或者choice_index <= len(self.function_set)就会从function_set里面选择一个比如这里选择add
function_index: 0
function: add
1_program: [add, add]
1_terminal_stack: [2, 2]
第2次    
depth: 2
choice: 13
choice_index: 11 
2_terminal: 10 # 这里terminal是10和n_features相等，所以会生成一个随机的float数值
3_terminal: 0.8395650516882855
2_program: [add, add, 0.8395650516882855]
2_terminal_stack: [2, 1]# 加入了常数 第二个值就减去1
第3次  
depth: 2
choice: 13
choice_index: 0
2_terminal: 8 # 这里terminal是10和n_features如果不相等的话就加入一个特征列
3_terminal: 8
2_program: [add, ddd, 0.8395650516882855, 8]
2_terminal_stack: [2, 0]
2_terminal_stack.pop(): 0 # 等于0的时候就被pop掉了 然后stack减去1
第4次    
depth: 1
choice: 13
choice_index: 5
2_terminal: 0
3_terminal: 0
2_program: [add, add, 0.8395650516882855, 8, 0]
2_terminal_stack: [0]
2_terminal_stack.pop(): 0
最后树的形状变成这个
tree1: add(add(0.840, X8), X0)

生成第2颗树的过程
method: grow
max_depth:4
function_index:0
function的地址:<functions._Function object at 0x000001E538356EB0>
function_name:add
program:[add]
terminal_stack:[2]
#############LOOP#########################
第1次
depth: 1
choice: 13
choice_index: 4
2_terminal: 3
3_terminal: 3
2_program: [add, 3]
2_terminal_stack: [1]
第2次
depth: 1
choice: 13
choice_index: 4
2_terminal: 6
3_terminal: 6 
2_program: [add, 3, 6]
2_terminal_stack: [0]
2_terminal_stack.pop(): 0
最后树的形状变成这个
tree2: [add, 3, 6]

画成流程图就是

1.4 get_subtree 获取随机子树

给symbol_tree里面的元素赋予权重如果是算子就是0.9 不是算子就是0.1

比如tree是

tree1: mul(X6, sub(X3, X1))

那么久赋予权重

probs: [0.9 0.1 0.9 0.1 0.1]

然后进行归一化就是除以sum

_probs: [0.42857143 0.47619048 0.9047619  0.95238095 1. ]

这里是采用轮盘赌法来选择切割点的

步骤

1）随机生成一个（0,1）内的随机值比如生成

s_index:0.8299421213898753

2）找到随机值在probs中应该在的位置这里这个位置就是start的位置

start: 2

3）初始化 end = start=2

stack = 1

如果end - start < stack那么

node = program[end]

如果node是算子的话那么stack要加上元数

stack += node.arity

end 自身一直加一直到program最后

画成流程图就是

1.5 crossover算法模块原理

crossover的目的是进行子树交叉

第一步从符号树模块获得随机子树

start, end = self.get_subtree(random_state)

第二步从其他符号树个体中获得随机子树

donor_start, donor_end = self.get_subtree(random_state, donor)

第三步获得交叉后的符号树

self.symbol_tree[: start] + donor[donor_start : donor_end] + self.symbol_tree[end : ]
tree1: add(mul(X9, X4), X6)
start, end: 1, 4
removed:range(1, 4)

donor: [mul, 6, 0.6656811846792283]
donor_start, donor_end:(0, 3)
donor_removed:[]
结合生成的子树
new_tree[add, mul, 6, 0.6656811846792283, 6]
最后得到的结果
                     add     mul x6       0.6656811846792283   x6
self.symbol_tree[: start] + donor[donor_start : donor_end] + self.symbol_tree[end : ]

1.6 subtree_mutation子树变异

由p_subtree_mutation参数控制。这是一种更激进的变异策略：优胜者的一棵子树将被另一棵完全随机的全新子树代替。

chicken = self.build_tree(random_state) 直接生产一棵新的子树
  self.crossover(chicken, random_state) # 然后用crossover算法直接进行交叉生成子树

1.7 hoist_mutation hoist变异

hoist变异是一种对抗公式树膨胀（bloating，即过于复杂）的方法：从优胜者公式树内随机选择一个子树A，再从A里随机选择一个子树B，然后把B提升到A原来的位置，用B替代A。hoist的含义即「升高、提起」。

第一步获取一个随机子树A

start, end = self.get_subtree(random_state)
 subtree = self.symbol_tree[start:end]

第二步从子树A中获取一个子树B

# 获取随机子树B
sub_start, sub_end = self.get_subtree(random_state, subtree)
hoist = subtree[sub_start:sub_end]

第三步 把B提升到A原来的位置，用B替代A

self.symbol_tree[:start] + hoist + self.symbol_tree[end:]
tree1: add(X6, sub(add(X0, X2), X6))
start, end: 0, 7
subtree : [add, x6, sub, add, x0, x2, x6]
mutation: sub_start, sub_end: 3, 6
mutation_hoist : [add, x0, x2]
removed: [0, 1, 2, 6]
new_tree: [add, x0, x2]
第二次
tree1: mul(X8, X0)
mutation_start, end: 0, 3
mutation_subtree : [mul, x8, x0]
mutation: sub_start, sub_end: 1, 2
mutation_hoist : [x8]
removed: [0, 2]
new_tree: [8]

1.8 point_mutation 点变异

由p_point_replace参数控制。一个随机的节点将会被改变，比如加法可以被替换成除法，变量X0可以被替换成常数-2.5。点变异可以重新加入一些先前被淘汰的函数和变量，从而促进公式的多样性。

第一步复制符号树，并获取一个随机的点

program = copy(self.symbol_tree) # 自己复制一份
 # 随机生成符号树长度个点，然后找到其中小于点变异概率的点组成一个list
 mutate = np.where(random_state.uniform(size = len(program)) < self.p_point_replace)[0]  # 获取一个随机的点

第二步遍历mutate的node节点，如果node是一个Function就替换，不是的话就加入常量或者feature

if isinstance(program[node], _Function):
                arity = program[node].arity # 算子元数
                replacement_len = len(self.arities[arity]) # 找到和arity元数一样的算子有多少个
                replacement_index = random_state.randint(replacement_len) # 从里面随机选择一个
                replacement = self.arities[arity][replacement_index] # 找到index对应的算子
                program[node] = replacement # 进行替换

如果不是function

第一种情况

# 不是算子的话就是常量或者端点 加入一个常量
                if self.const_range is not None:
                    terminal = random_state.randint(self.n_features + 1)
                else:
                    terminal = random_state.randint(self.n_features) # 随机生成一个（0，n_features）内的一个数字terminal
 
                if terminal == self.n_features:  # 如果terminal和n_features相等的话就替换为一个（0,1）内float的数字
                    terminal = random_state.uniform(*self.const_range)
                    if self.const_range is None:
                        raise ValueError('A constant was produced with const_range=None.')
                program[node] = terminal

2. fitness 模块获得符号树的适应性

2.1 get_all_indices 接口获得所有数据的index

第一步：进行参数校验

if self._indices_state is None and random_state is None: # 如果_indices_state和random_state都是None
    raise ValueError('The program has not been evaluated for fitness\n yet, indices not available.')
if n_samples is not None and self._n_samples is None: #如果n_samples不为None
    self._n_samples = n_samples
if max_samples is not None and self._max_samples is None: # n_samples代表数据集的行数
    self._max_samples = max_samples # max_samples最大采样树
if random_state is not None and self._indices_state is None:
    self._indices_state = random_state.get_state()

第二步 获得随机种子，然后获得袋外数据和袋内数据的index

indices_state = check_random_state(None)
  indices_state.set_state(self._indices_state)  # 得到random_state
  not_indices =  sample_without_replacement(
      self._n_samples,
      self._n_samples - self._max_samples,
      random_state=indices_state) # 袋外数据 这里是从[0,self._n_samples]中选出self._n_samples - self._max_samples个数据
 
  sample_counts = np.bincount(not_indices, minlength=self._n_samples) # 找到每个index出现的次数了
  indices = np.where(sample_counts == 0)[0] # 出现次数是零的index就是被留下的数据，在袋内的数据了

其他函数

sample_without_replacement(n_population, n_samples, random_state,method): 采样函数，随机获取袋外数据，从集合[0，n_population]中选择n_samples个数据，有放回的抽样

参数介绍

2.2 raw_fitness

接口

raw_fitness(self, X, y, sample_weight)

先执行X的算法得到y_pred，然后根据y,y_pred以及权重计算误差

# 根据x，y 评估符号树的适用性 返回fitness
        y_pred = self.execute(X)
        raw_fitness = self.metric(y, y_pred, sample_weight)

2.3 fitness模块

接口

fitness(self, parsimony_coefficient=None)

先执行X的算法得到y_pred，然后根据y,y_pred以及权重计算误差

if parsimony_coefficient is None:
   parsimony_coefficient = self.parsimony_coefficient
penalty = parsimony_coefficient * len(self.symbol_tree) * self.metric.sign # 这里是节约系数乘以公式树的长度如果越大越好sign是1否则是-1
return self.raw_fitness_ - penalty # fitness进行了约减，这里惩罚了树过于膨胀的公式

3.并行模块

3.1并行parallel_evolve

接口

_parallel_evolve(n_programs, parents, X, y, sample_weight, seeds, params)

入参

属性：

3.2内置接口_tournament

目的：找到表现最好的符号树

contenders = random_state.randint(0, len(parents), tournament_size) # 生成tournament_size个（0，len(parents)）的数字相当于从父类中随机选多少个
fitness = [parents[p].fitness_ for p in contenders] # 得到这些被选中的符公式树的评分
if metric.greater_is_better: # 判断指标是不是越大越好还是越小越好
   parent_index = contenders[np.argmax(fitness)] # np.argmax找到最大的那个值的index
else:
   parent_index = contenders[np.argmin(fitness)] # 越小越好
return parents[parent_index], parent_index # 返回最大的对象和他的index

3.3运行流程：

第一步：n_programs表示种群里的一个组内有多少颗树，这里要循环n_programs次

初始化

method = random_state.uniform() # method从crossover subtree hoist point变异里选中的概率
parent, parent_index = _tournament() # 找到了表现好的公式树

第二步根据method的概率选择突变的类型

method_probs定义
self._method_probs = np.array([self.p_crossover, self.p_subtree_mutation,
                                       self.p_hoist_mutation, self.p_point_mutation])
self._method_probs = np.cumsum(self._method_probs)
 if method < method_probs[0]: # 如果method小于crossover概率的话
                # 走crossover方法
                donor, donor_index = _tournament() # 次好的公式树作为子树
                program, removed, remains = parent.crossover(donor.symbol_tree, random_state) # 两者交叉

                genome = {'method':'Crossover',
                          'parent_idx': parent_index,
                          'parent_nodes':removed,
                          'donor_idx':donor_index,
                          'donor_nodes':remains
                          }
            elif method < method_probs[1]:# 如果method小于crossover概率的话
                # subtree突变
                program, removed, _ = parent.subtree_mutation(random_state)
                genome = {'method':'Subtree Mutation',
                          'parent_idx':parent_index,
                          'parent_nodes':removed
                          }
            elif method < method_probs[2]:
                # hoist突变
                program, removed = parent.hoist_mutation(random_state)
                genome = {'method':'Hoist Mutation',
                          'parent_idx': parent_index,
                          'parent_node': removed
                          }
            elif method < method_probs[3]:
                # point突变
                program, mutated = parent.point_mutation(random_state)
                genome = {'mehtod':'Point Mutation',
                          'parent_idx':parent_index,
                          'parent_nodes':mutated
                          }
            else:
                # 自身拷贝
                program = parent.reproduce()
                genome = {'mehtod': 'Reproduction',
                          'parent_idx':parent_index,
                          'parent_nodes':[]
                          }

第三步 根据参数和第二步得到的program生成公式树

program = _SymbolTree(function_set=function_set,
                               arities=arities,
                               init_depth=init_depth,
                               init_method=init_method,
                               n_features=n_features,
                               metric=metric,
                               const_range=const_range,
                               p_point_replace=p_point_replace,
                               parsimony_coefficient=parsimony_coefficient,
                               feature_names=feature_names,
                               random_state=random_state,
                               symbol_tree = program)

然后

program.parents = genome

这里的genome存储的是之前生成子树的过程中删掉的信息把他赋值给parents

第四步 根据sample_weight中的权重信息对特征列赋予权重。

if sample_weight is None: # 计算袋内数据权重
     curr_sample_weight = np.ones((n_samples,)) # 如果没有权重信息那么所有样本权重都是1
 else:
     curr_sample_weight = sample_weight.copy()
 oob_sample_weight = curr_sample_weight.copy() # 袋外数据

计算袋外数据的fitness

indices, not_indices = program.get_all_indices(n_samples, max_samples, random_state) # 得到选择的在袋外的数据index
 curr_sample_weight[not_indices] = 0 # 原数据里面属于袋外数据的其index对应的权重置为零
 oob_sample_weight[indices] = 0 # 袋外数据里面不在原数据里的其index对应的权重置为零
 program.raw_fitness_ = program.raw_fitness(X, y, curr_sample_weight) # 计算袋内数据的fitness

计算袋外数据的fitness

if max_samples < n_samples:
      # 计算袋外数据的适用性
    program.oob_fitness_ = program.raw_fitness(X, y, oob_sample_weight) # 计算袋内数据的fitness

最后循环n次就得到了n颗变异后的子树programs，它里面有两个私有属性raw_fitness_，oob_fitness_分别存储了袋内袋外数据的适用性

4.SymbolicTransformer模块

4.1初始化模块

4.1.1基本属性

4.1.2方法

_verbose_reporter：控制日志输出

4.1.3 fit模块

接口

fit(self, X, y, sample_weight = None)

入参：

第1步：对数据进行校验

校验：检查X和y的长度是否一致、hall_of_fame、function_set、_arities是不是正常以及metric是不是Fitness类型 自身是否继承于TransformerMixin抽象类

然后把概率放到list里面，逐步加

self._method_probs = np.array([self.p_crossover, self.p_subtree_mutation, self.p_hoist_mutation, self.p_point_mutation])
self._method_probs = np.cumsum(self._method_probs)

然后校验_method_probs、init_method、const_range、init_depth、feature_names进行类型检查和范围检查

第2步：取出参数并对其进行赋值

params = self.get_params()
 print(f'params: {params}')
 params['_metric'] = self._metric
 params['function_set'] = self._function_set
 params['arities'] = self._arities
 params['method_probs'] = self._method_probs

如果不是warm_start模式就准备好_programs和 run_details_字典

if not self.warm_start or not hasattr(self, '_programs'):
# warm_start为false时就重新开始，释放分配的内存
   self._programs = [] # _programs里面存的是每一代的优胜者 list[list1,list2... listn]
   self.run_details_ = { 'generation':[],
                         'average_length':[],
                         'average_fitness':[],
                         'best_length':[],
                         'best_fitness': [],
                         'best_oob_fitness':[],
                         'generation_time':[]
                         }
prior_generations = len(self._programs) # _programs里面存的是每一代的优胜者 list[list1,list2... listn] 其长度代表迭代了多少代
n_more_generations = self.generations - prior_generations # 还有多少代需要迭代

然后是对n_more_generations进行校验

population_size代表每一个世代中种群的数目
if self.warm_start: # 丢弃之前用过的随机种子
   for i in range(len(self._programs)):
       _ = random_state.randint(MAX_INT, size = self.population_size)
if self.verbose:
    self._verbose_reporter()# 输出日志

第3步：并行的运行程序

循环层（从prior_generations到generations）

1）记录时间找到父类

start_time = time()
if gen == 0: # 如果是第一代的话parents是None
   parents = None
else:
   parents =  self._programs[gen - 1] # _programs里面的最后一代

2）并行运行程序

n_jobs, n_programs, starts = _partition_estimators(self.population_size, self.n_jobs) # 把种群分成n_job份n_programs表示第几份中有多少个数据 starts记录了每组数据的起点
seeds = random_state.randint(MAX_INT, size = self.population_size) # 产生population_size个随机种子
population = Parallel(n_jobs=n_jobs, verbose=int(self.verbose > 1))(
                delayed(_parallel_evolve)(n_programs[i],parents, X, y,sample_weight, seeds[starts[i]:starts[i + 1]],
                                          params) for i in range(n_jobs))

对数据进行合并，得到下一代变异的种群

population[<symboltree._SymbolTree object at 0x00000118ABB89E20>, <symboltree._SymbolTree object at 0x00000118ABB89E80>, <symboltree._SymbolTree object at 0x00000118ABB89F10>, <symboltree._SymbolTree object at 0x00000118ABB89FD0>]
population = list(itertools.chain.from_iterable(population))

得到种群的所有的个体的fitness和length是一个list

fitness = [program.raw_fitness_ for program in population]
length = [program.length_ for program in population]

3）惩罚系数对fitness进行约束

parsimony_coefficient = None
if self.parsimony_coefficient == 'auto':
    parsimony_coefficient = (np.cov(length, fitness)[1, 0] / np.var(length)) # 取出（length, fitness）协方差矩阵的第2行1列除以方差
for program in population:
    program.fitness_ = program.fitness(parsimony_coefficient) # 收缩后的适应度

self._programs.append(population) #新生成的这一代的信息放入_programs

4）删除被淘汰的个体

if not self.low_memory:
   for old_gen in np.arange(gen, 0, -1): # 把到gen的世代数倒序排成list类似[5 4 3 2 1]
       indices = []
       for program in self._programs[old_gen]: # 找到上一代的种群每一个符号树
           if program is not None:# 不是None的话
              for idx in program.parents: # 找到他的parents_idx parents_idx里面存的是其表现最好的父类
                   if 'idx' in idx:# 找到其中的parent_idx
                       indices.append(program.parents[idx])
        indices = set(indices) # 去重复
        for idx in range(self.population_size):# 种群内每一个个体
            if idx not in indices: # 如果该个体不在最优集合里面就把他置为None
               self._programs[old_gen - 1][idx] = None
elif gen > 0:
     self._programs[gen - 1] = None #不然就把上一代置为None

第4步进行运行的信息

对应代码

# 记录运行信息
if self._metric.greater_is_better: # 如果是越大越好的话
   best_program = population[np.argmax(fitness)]
else:
   best_program = population[np.argmin(fitness)]

self.run_details_['generation'].append(gen)
self.run_details_['average_length'].append(np.mean(length))
self.run_details_['average_fitness'].append(np.mean(fitness))
self.run_details_['best_length'].append(best_program.length_)
self.run_details_['best_fitness'].append(best_program.raw_fitness_)
oob_fitness = np.nan
if self.max_samples < 1.0:
   oob_fitness = best_program.oob_fitness_
   self.run_details_['best_oob_fitness'].append(oob_fitness) # 袋外数据准确性
   generation_time = time() - start_time
   self.run_details_['generation_time'].append(generation_time) # 运行时间

处理early stopping

if self._metric.greater_is_better:
   best_finess = fitness[np.argmax(fitness)]
   if best_finess >= self.stopping_criteria: # 达到停止标准的时候
      break
else:
   best_finess = fitness[np.argmix(fitness)]
   if best_finess <= self.stopping_criteria:  # 达到停止标准的时候
      break

到这里循环结束，得到所有的世代。

第5步如果是变换的话

a）首先得到hall_of_fame个索引

fitness = np.array(fitness) # 找到这一代种群的fitness
if self._metric.greater_is_better: # 越大越好的好就倒序选择
   hall_of_fame = fitness.argsort()[::-1][:self.hall_of_fame] #得到hall_of_fame个fitness的索引
else:
   hall_of_fame = fitness.argsort()[:self.hall_of_fame] # 越小越好就正序选择

对最后一代的种群里所有的个体（其中属于hall_of_fame的）进行计算得到预测的值

evaluation = np.array([gp.execute(X) for gp in [self._programs[-1][i] for i in hall_of_fame]])

如果指标是spearman系数的话，计算得到evaluation每一组数据的排序值

if self.metric == 'spearman':
   evaluation = np.apply_along_axis(rankdata, 1, evaluation) 
from scipy.stats import rankdata
evaluation = np.array([[1,2,3,4],
            [6,5,7,8],
            [9,10,11,12]])
print(np.apply_along_axis(rankdata, 1, evaluation))
#输出
[[1. 2. 3. 4.]
 [2. 1. 3. 4.]
 [1. 2. 3. 4.]]

然后计算相关系数矩阵

with np.errstate(divide = 'ignore', invalid = 'ignore'): # 去掉除0 无效值等警告
     correlations = np.abs(np.corrcoef(evaluation)) # 得到相关系数矩阵 如果是spearman系数这里就是spearman相关系数
[[1. 2. 3. 4.]
 [2. 1. 3. 4.]
 [1. 2. 3. 4.]]
 
[[1.  0.8 1. ]
 [0.8 1.  0.8]
 [1.  0.8 1. ]]
 np.fill_diagonal(correlations, 0.) # 对角线元素填充0
components = list(range(self.hall_of_fame)) # hall_of_frame个0到hall_of_frame的数字
indices = list(range(self.hall_of_fame))
# X_shape(354, 13)
# evaluation:(50, 354)
 # 迭代删除最小相关的的元素
while len(components) > self.n_components: # 如果最小相关个体大于要留的个数
     # correlations_shape(50, 50)
      most_correlated = np.unravel_index(np.argmax(correlations), correlations.shape) # 得到最大值的索引 相关性越大越不好
      # 通过适应度对相关矩阵进行排序，确定最不合适的索引
      worst = max(most_correlated) # worst就是索引大的那一列
      components.pop(worst)
      indices.remove(worst) # 从序列号中删除
      correlations = correlations[:, indices][indices, :]
      indices = list(range(len(components)))
 self._best_programs = [self._programs[-1][i] for i in hall_of_fame[components]]

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