算法效率

算法效率分析分为两种：第一种是时间效率，第二种是空间效率。时间效率被称为时间复杂度，而空间效率被
    称作空间复杂度。 时间复杂度主要衡量的是一个算法的运行速度，而空间复杂度主要衡量一个算法所需要的额
    外空间，在计算机发展的早期，计算机的存储容量很小。所以对空间复杂度很是在乎。但是经过计算机行业的
    迅速发展，计算机的存储容量已经达到了很高的程度。所以我们如今已经不需要再特别关注一个算法的空间复
    杂度。

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时间复杂度

时间复杂度的概念

时间复杂度的定义：在计算机科学中，算法的时间复杂度是一个函数，它定量描述了该算法的运行时间。一个
    算法执行所耗费的时间，从理论上说，是不能算出来的，只有你把你的程序放在机器上跑起来，才能知道。但
    是我们需要每个算法都上机测试吗？是可以都上机测试，但是这很麻烦，且不现实。所以才有了时间复杂度这个分析方
    式。一个算法所花费的时间与其中语句的执行次数成正比例，算法中的基本操作的执行次数，为算法的时间复
    杂度。

大O 的渐进表示法

让我们通过代码，来了解它

当我们看到func1方法时，首先，要找到运行次数最多的语句

public class TimeComplexityAndSpaceComplexity {
    public static  void func1(int N){
        int count = 0;
        for (int i = 0; i < N ; i++) {
            for (int j = 0; j < N ; j++) {
                count++;// 第一个就是 这个 count++;,它执行了多少次？
 // 两个for嵌套，两个for循环N次，最外围的for循环，每遍历一个数据，嵌套在内部的for循环，就要循环 N 次。
                //即 count++; 语句 被循环执行 N*N 次，
                // 小技巧，找执行次数最多的语句，你就看哪里有循环就行了。
            }
        }
        for (int k = 0; k < 2 * N ; k++) {
            count++;// 这里的 count++; 被执行了 2*N
        }
        int M = 10;
        while ((M--) > 0) {
            count++;// 这里count++; 被执行了 10次
        }
        System.out.println(count);
    }
}

经过我们分析，这句代码在程序中 一共被执行了 F(N) = N^2 + 2N + 10
 在座的各位，跟着我思考一个问题：
如果我们的 N 越来越大
比如：
N = 10 F(N) = 10^2 + 20 + 10 == 100 + 30 == 130
N = 100 F(N) = 100^2 + 200 + 10 == 10000 + 210 == 10210
N = 1000 F(N) = 1000^2 + 2000 + 10 == 1000000 + 2010 == 1002010
 --- ---- ---
---- ----  ---

 按照这样想法，后面的 2N + 10，随着N增大，就显得微不足道。

在实际中我们计算时间复杂度时，我们其实并不一定要计算精确的执行次数，而只需要大概执行次数，那么这里 我们使用大O的渐进表示法。

大O符号（Big O notation）：是用于描述函数渐进行为的数学符号。

推导大O阶方法：

以func1的时间复杂度为例： F(N) = N^2 + 2N + 10
    
    1、用常数1取代运行时间中的所有加法常数。{F(N)= N^2 +2N +1}
    2、在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。{F(N)=N^2}
    
    3、如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项目相乘的常数。得到的结果就是大O阶
   假设 使用完方法 1 和 2，把该做的都做了，还剩 3* N^2,
 此时，按照方法3的规则去操作(去掉3*)，最终的时间复杂度为 O(N^2),
即分析这个代码的时间复杂度，在使用大O的渐进表示法以后

Func1的时间复杂度为 O(N^2).

通过上面我们会发现大O的渐进表示法去掉了那些对结果影响不大的项，简洁明了的表示出了执行次数。

另外有些算法的时间复杂度存在最好、平均和最坏情况：

最坏情况：任意输入规模的最大运行次数(上界)
    平均情况：任意输入规模的期望运行次数（根据代码的情况给出平均时间复杂度）
    最好情况：任意输入规模的最小运行次数(下界)
    例如：在一个长度为N数组中搜索一个数据x
    最好情况：1次找到
    最坏情况：N次找到
    平均情况：N/2次找到（可以这么理解，在中间的位置找到的。）

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在实际中一般情况关注的是算法的最坏运行情况，

举个例子：

假设数组中有N个元素，现在我们要在数组中查找一个元素，最坏的情况，该元素处在数组末尾，
 也就是说 需要遍历整个数组元素。
 故：数组中搜索数据时间复杂度为O(N)

再来看几个代码案例

案例1

public class TimeComplexityAndSpaceComplexity {
    public static  void func(int N){
            int count = 0;
            for (int k = 0; k < 2 * N ; k++) {
                count++;// 2*N
            }
            int M = 10;
            while ((M--) > 0) {
                count++;// 10
            }
            System.out.println(count);
        }
    }
  时间复杂度为 F(N) = 2*N + 10.使用大0渐进法来表示时间复杂度为 O(N)

案例 2

public class TimeComplexityAndSpaceComplexity {
    public static  void func(int N,int M) {
        int count = 0;
        for (int k = 0; k < M; k++) {
            count++;// M
        }
        for (int k = 0; k < N; k++) {
            count++;// N
        }
        System.out.println(count);
    }
}
  时间复杂度为 F(N) = N + M.使用大0渐进法来表示时间复杂度为 O(N + M)

&ensp；

案例3

public class TimeComplexityAndSpaceComplexity {
    public static  void func(int N) {
        int count = 0;
        for (int k = 0; k < 100; k++) {
            count++;// 100
        }
        System.out.println(count);
    }
}
  时间复杂度为 F(N) = 100.使用大0渐进法来表示时间复杂度为 O(1)

大家在分析时间复杂度时，一定要结合思想，不能光看代码。

接下来，我们来分析 几个复杂 的 时间复杂度 的 程序

冒泡排序

public class TimeComplexityAndSpaceComplexity {
    public  void bubbleSort(int[] array) {
        for (int end = array.length; end > 0; end--) {// 执行 length 次
            boolean sorted = true;// 暂不考虑优化(数组已经是有序的, 也就是说 程序在遍历一次判断一下，就结束了)
            // 最好情况：时间复杂度为 O(N)
            for (int i = 1; i < end; i++) { //length -1 次
                if (array[i -1]> array[i]) {
                Swap(array, i - 1, i);
                sorted = false;
                }
            }
            if (sorted == true) {
                break;
            }
        }
    }
}

时间复杂度是考虑最坏情况（每一个元素都需排序），不考虑优化情况和平均情况：
两个for循环嵌套length * (length - 1) == N(N-1) = N^2 - N == N^2
故 冒泡排序的空间复杂度为 O(N^2)

二分查找

public class TimeComplexityAndSpaceComplexity {
    int binarySearch(int[] array, int value) {
        int left = 0;
        int right = array.length - 1;
        while (left <= right) {
            int mid = (right + left) / 2;
            if (array[mid] < value) {
                left = mid + 1;
            } else if (array[mid] > value) {
                right = mid - 1;
            } else {
                return mid;
            }
        }
        return -1;
    }
} 图1

图1

递归

时间的复杂度 = 递归的次数 * 每次递归执行的次数

比如说：我这个递归，递归了N次（N）。每次下去（N） 就是 一个循环，循环是循环了 N 次
 那么递归的时间的复杂度 为 N * N^2 = N^3

现在我们来看下面的程序（阶乘）

public class TimeComplexityAndSpaceComplexity {
    long factorial(int N) {
        return N < 2 ? N : factorial(N-1) * N;
    }
}

虽然我们不知道该程序的递归次数，但是程序每次递归下去的时候，遇到是三目运算符。
三目运算符 不是循环，所以 每次递归的次数为1次
再来看看 程序，如果我们求的是 4 的阶乘，也就是 N==4,

N<2,那么只有 N==1时，返回 1（终止递归），然后在看后面 factorial(N-1)
每次递归减一，那么 4,3,2,1 一共 4次
也就是说 递归的次数 为 N 次，
所以 时间的复杂度 = 递归的次数 * 每次递归执行的次数 == N * 1 == N
即 O(N)

计算斐波那契递归fibonacci的时间复杂度？

public class TimeComplexityAndSpaceComplexity {
    int fibonacci(int N) {
        return N < 2 ? N : fibonacci(N-1)+fibonacci(N-2);
    }
}

还是一样，每次进来就是一个 三目运算符，每次递归执行的次数为1，
再来看 递归的次数
假设我们想求第四个斐波那契数，那么就需要我们去计算 第3 和 第4 个斐波那契数
因为斐波那契数，从第三位数开始，该数 等于 自身前两个数之和。

那么 第3个斐波那契数 ，需要 第1和第2个斐波那契数
第2个斐波那契数 需要 第1个斐波那契数，（因为N<2,是终止条件）
至于，第1个斐波那契数，就不需要再计算了（终止了）

第4个斐波那契数，需要 第3 和 第2个斐波那契数
第3个斐波那契数需要 第2 和 第1 个斐波那契数，第2个斐波那契数，需要第1个斐波那契数，（因为N<2,是终止条件）
至于，第2个斐波那契数，需要第一个斐波那契数 （因为N<2,是终止条件）
见 图 2

 斐波那契数的 时间复杂度 见图3

图2

图3

空间复杂度

空间复杂度是对一个算法在运行过程中 临时 占用存储空间大小的量度 。空间复杂度不是程序占用了多少bytes的空间
因为这个也没太大意义，所以空间复杂度算的是变量的个数。
空间复杂度计算规则基本跟实践复杂度，类似，也使用大O渐进表示法。

冒泡排序 的 空间复杂度

public class TimeComplexityAndSpaceComplexity {
    public void bubbleSort(int[] array) {
        for (int end = array.length; end > 0; end--) {
            boolean sorted = true;
            for (int i = 1; i < end; i++) {
                if (array[i - 1] > array[i]) {
                    Swap(array, i - 1, i);
                    sorted = false;
                }
            }
            if (sorted == true) {
                break;
            }
        }
    }
}
 冒泡排序的整个运行的过程，没有说随着问题的规模，我们定义的变量也在增多。
 也就说 冒泡排序的空间复杂度为 O(1)
 有的人可能会说 sorted 在每次循环的时候，都会创建。
 但是请注意 sorted 变量只有1个，你不能说我们循环10次，定义了10个 sorted
 每次循环结束 变量空间是会被回收的，循环开始再创建一个。
 也就是说 sorted 自始至终都是一个。
 至于数组，不算。注意空间复杂度解释的题干中的 “临时” ，你可以理解为另外消耗的,或者说括号里的变量
 这么说吧，数组是冒泡排序必须品，而 sorted 只是临时创建的，为了辅助这个程序的运行
 所以”临时“的变量个数，只有sorted一个
 故 该冒泡排序的空间复杂度为 O(1)

计算fibonacci的空间复杂度

public class TimeComplexityAndSpaceComplexity {
    int[] fibonacci(int n) {// 计算斐波那契数的第N项
        long[] fibArray = new long[n + 1];
         n如果越大，数据就越大，你的结果要存入这个数组里(这里的n+1，是因为下标，自己品)
         下面的数组元素，最后都是要存入数组的，也就是说 下面生成的临时变量，都是存入数组的
         即元素个数，就是 临时变量的个数，即求斐波那契数 的 空间复杂度 为 O(N+1)
         再根据大O渐进法，空间复杂度的最终结果： O(N)
        fibArray[0] = 0;
        fibArray[1] = 1;
        for (int i = 2; i <= n ; i++) {
            fibArray[i] = fibArray[i - 1] + fibArray [i - 2];
        }
        return fibArray;
    }
}

计算阶乘递归Factorial的时间复杂度？

public class TimeComplexityAndSpaceComplexity {
    long factorial(int N) {
        return N < 2 ? N : factorial(N-1)*N;
    }
}
 递归的空间复杂度有点不一样。
 每递归一次，函数就要在栈上开辟一块内存
 也就是说递归一次，空间复杂度为 O(1)
 递归N次，空间复杂度为 O(N)
 即 阶乘递归函数的 空间复杂度为 O(N)

想要熟练的分析时间和空间的复杂度还是需要多刷题，多练习。

本文结束