0. 学习目标

在诸如单链表、双线链表等普通链表中，查找、插入和删除操作由于必须从头结点遍历链表才能找到相关链表，因此时间复杂度均为 O ( n ) O(n)O(n)。跳表是带有附加指针的链表，使用这些附加指针可以跳过一些中间结点，用以快速完成查找、插入和删除等操作。本节将介绍跳表的相关概念及其具体实现。
通过本节学习，应掌握以下内容：

• 跳表的基本概念及其与普通链表的区别
• 跳表及其操作的实现

1. 跳表的基本概念

跳表 (Skip List) 是一种可以快速进行查找、插入和删除等操作的有序链表(链表中的数据项按照某种顺序进行排列的链表称为有序链表)。跳表的核心思想是以更大的跨度遍历链表，以便可以跳过中间结点。

1.1 跳表介绍

首先，让我们回想一下如何在以下单链表中查找数据元素，即使链表中的数据已经排好序，我们也需要从头结点开始遍历链表。

例如要在以上单链表中查找 15，查找过程为： 0-->3-->5 -->7-->10-->15。
为了提高查找的效率，我们可以抽取链表中的一部分结点建立一个起“索引”作用的链，称为“索引层”或简称“索引”：

此时我们查找 15，首先在索引层中遍历，当我们扫描到值为 10 的结点时，由于下一结点值为 27，因此我们知道 15 应当在这两个结点之间，然后回到原链表中遍历即可找到值为 15 的结点，遍历过程如下图绿色箭头所示：

可以看到通过建立索引链，需要遍历的结点数得以减少，为了进一步减少所需遍历的结点数，可以通过对索引链添加索引，跳表是对链表叠加多级索引的数据结构。

1.2 跳表的性能

在由 n nn 个元素组成的简单链表中，要执行查找操作，在最坏的情况下需要进行 n nn 次比较。如果添加一级索引，由于每次可以跳过一个结点，则比较次数在最坏的情况下会下降到 ⌈ n 2 ⌉ + 1 \lceil \frac n 2 \rceil+ 1⌈2n​⌉+1；如果再添加一级索引，则最坏情况下比较次数可以减少至 ⌈ n 4 ⌉ + 2 \lceil \frac n 4 \rceil+ 2⌈4n​⌉+2；继续此策略，假设一共有 m mm 级索引，则最坏情况下比较的次数为 ⌈ n 2 m ⌉ + m \lceil \frac n {2^m} \rceil+ m⌈2mn​⌉+m。
设 m mm 层结点数为 2，则 n 2 m = 2 \frac n {2^m}=22mn​=2，可知跳表共 l o g n lognlogn 层，我们在遍历跳表时，由于每层需要比较的结点数为常数个，因此时间复杂度为 O ( l o g n ) O(logn)O(logn)，并且在跳表中指针的数量仅增加了一倍( n + n 2 + n 4 + n 8 + n 16 + . . . . = 2 n ) (n + \frac n2 + \frac n4 + \frac n8 + \frac n {16} + .... = 2n)(n+2n​+4n​+8n​+16n​+....=2n)。

1.3 跳表与普通链表的异同

我们可以将跳表理解为排序后的链表，但与普通链表相比，有以下不同点：

• 普通链表中的结点只有一个 next 指针，跳表中的结点有多个 next 指针；
• 给定结点的 next 指针的数量是随机确定的。

跳表中结点的每个 next 指针称为一层，结点中的层数称为结点的大小，其决定了结点在链表中的层级；在普通的有序链表中，插入、删除和查找操作需要对链表依次遍历，因此每个操作的时间复杂度均为 O ( n ) O(n)O(n)，跳表允许在遍历时跳过一些中间节点，每个操作的时间复杂度为 O ( l o g n ) O(logn)O(logn)。

2. 跳表的实现

跳表中的每个数据元素由一个结点表示，结点的层级在结点插入时随机选择，而不考虑数据结构中数据元素的数量。第 i ii 级结点有 i ii 个 next 指针(在结点实现时使用大小为 i ii 的数组 next 存储 i ii 个 next 指针)，因此我们不需要在结点中存储结点的层级，使用最大层数 max_level 来限制层级上限。跳表的头结点具有从 1 级到 max_level 级的 next 指针。

2.1 跳表结点类

跳表的结点示意图如下所示，每个结点都有一组用于指向其它层级结点的指针域列表 next：

class Node:
    def __init__(self, data, level=0):
        self.data = data
        self.next = [None] * level
    
    def __str__(self):
        return "Node({}, {})".format(self.data, len(self.next))

next 数组用于保存指向不同层级结点的指针，其中每个元素就是一个 next 指针，而 data 变量用于存储数据，重载 __str__ 方法用于便于打印结点对象，len(self.next) 可以用于表示结点中的层数。

2.2 跳表的初始化

跳表的初始化是建立一个空的带头结点的跳表，其表长 length 初始化为 0，此时链表中没有元素结点，只有一个头结点：

class SkipList:
    def __init__(self, max_level=8):
        self.max_level = max_level
        node = Node(Node, max_level)
        self.head = node
        self.length = 0

创建跳表 SkipList 对象的时间复杂度为 O ( 1 ) O(1)O(1)。

2.3 获取跳表长度

求取跳表长度只需要重载 __len__ 从对象返回 length 的值，因此时间复杂度为 O ( 1 ) O(1)O(1)：

def __len__(self):
        return self.length

2.4 读取指定位置元素

由于跳表中的每个结点的层级是在结点插入时随机选择的，因此读取指定位置的数据元素和单链表类似，需要顺序遍历第 0 层结点，操作的复杂度为 O ( n ) O(n)O(n)，如果索引不在可接受的索引范围内，将引发 IndexError 异常：：

def __getitem__(self, index):
        if index > self.length - 1 or index < 0:
            raise IndexError("UnrolledLinkedList assignment index out of range")
        else:
            count = 0
            node = self.head.next[0]
            while count < index:
                node = node.next[0]
                count += 1
            return node.data

2.5 查找指定元素

跳表的查找操作从最上层开始，如果待查元素 value 小于当前层的后继结点的 data，则平移至当前层的后继结点；否则下移进入下一层，继续比较，直至第一层。

def locate(self, value):
        node = self.head
        # 由于索引从0开始，因此第i层级的索引为i-1
        level = self.max_level - 1
        while level >= 0:
            while node.next[level] != None and node.next[level].data < value:
                # 平移到当前层的后继结点
                node = node.next[level]
            # 下移进入下一层
            level -= 1
        if node.next[0].data == value:
            return node.next[0]
        else:
            raise ValueError("{} is not in skip list".format(value))

2.6 在跳表中插入新元素

与普通链表不同，在跳表中插入新元素不能指定位置(需要保证有序性)，需要通过查找确定新数据元素的插入位置。
插入元素前，首先需要确定该元素所占据的层数 level k，这是通过算法随机生成的，这样可以减少算法实现的复杂度，同时也可以保证跳表性能。

def random_level(self, max_level):
        num = random.randint(1, 2**max_level -1)
        lognum = math.log(num, 2)
        level = int(math.floor(lognum))
        return max_level - level

然后需要在 level 1, level 2, ..., level k 各层的链表都插入新元素，为了达到此目的，我们需要在查找插入位置时维护一个列表 update，update 中的每个元素 update[i] 指向 level i 中小于插入元素 data 的最右边结点，即插入位置的左侧，如下图所示，插入元素 data = 9，随机层数 k=3：

def update_list(self, data):
        update = [None] * self.max_level
        node = self.head
        level = self.max_level - 1
        while level >= 0:
            while node.next[level] != None and node.next[level].data < data:
                node = node.next[level]
            update[level] = node
            level -= 1
        return update

可以看到维护 update 列表的过程与查找元素类似，根据 update 列表可以判断跳表中是否已存在元素 data，如果不存在将其插入跳表中：

def insert_node(self, data):
        # 产生随机 level，并构造结点
        level = self.random_level(self.max_level)
        node = Node(data, level)
        # 获取 update 列表
        update = self.update_list(data)
        # 插入结点
        if len(update) == 0 or update[0].next[0] == None or update[0].next[0].data != data:
            self.length += 1
            for i in range(level):
                node.next[i] = update[i].next[i]
                update[i].next[i] = node

2.7 删除跳表中指定元素

删除指定元素与插入操作类似：

def delete_node(self, data):
        # 获取 update 列表
        update = self.update_list(data)
        if len(update) > 0:
            node = update[0].next[0]
            # 删除指定元素结点
            if node != None and node.data == data:
                self.length -= 1
                for i in range(len(node.next)):
                    update[i].next[i] = node.next[i]
                del node

2.8 其它一些有用的操作

2.7.1 跳表指定层元素输出

将跳表指定层转换为字符串以便进行打印，编写 print_level 方法打印指定层中数据元素：

def get_level(self, level):
        """辅助函数，用于根据给定层构造结果字符串"""
        node = self.head.next[level]
        result = ''
        while node:
            result = result + str(node.data) + '-->'
            node = node.next[level]
        result += 'None'
        return result
    def print_level(self, level):
        print('level {}'.format(level))
        result = self.get_level(level)
        print(result)

2.7.2 跳表各层元素输出

可以借助上述辅助函数 get_level，使用 str 函数调用对象上的 __str__ 方法可以创建适合打印的字符串表示：

def __str__(self):
        result = ''
        for i in list(range(self.max_level))[self.max_level-1:0:-1]:
            result = result + self.get_level(i) + '\n'
        result += self.get_level(0)
        return result

3. 跳表应用

接下来，我们将测试上述实现的链表，以验证操作的有效性。

3.1 跳表应用示例

首先初始化一个跳表 sl，并在其中插入若干元素：

sl = SkipList(4)
for i in range(0, 30, 3):
    sl.insert_node(i)

我们可以直接打印跳表中的数据元素、链表长度等信息：

print('跳表 sl 各层元素为：')
print(sl)
print('跳表 sl 长度为：', len(sl))
print('跳表 sl 第 2 个元素为：', sl[2])

以上代码输出如下：

跳表 sl 各层元素为：
9-->None
0-->9-->18-->None
0-->9-->18-->27-->None
0-->3-->6-->9-->12-->15-->18-->21-->24-->27-->None
跳表 sl 长度为： 10
跳表 sl 第 2 个元素为： 6

接下来，我们将演示在添加/删除元素、以及如何查找指定元素等：

# 插入元素
sl.insert_node(14)
print('在跳表 sl 中插入数据 14 后：')
print(sl)
# 删除元素
sl.delete_node(14)
print('删除跳表 sl 中数据 14 后：')
print(sl)
# 查找数据元素 15
print('查找跳表 sl 中数据元素 15：', sl.locate(15))

以上代码输出如下：

在跳表 sl 中插入数据 14 后：
9-->None
0-->9-->18-->None
0-->9-->14-->18-->27-->None
0-->3-->6-->9-->12-->14-->15-->18-->21-->24-->27-->None
删除跳表 sl 中数据 14 后：
9-->None
0-->9-->18-->None
0-->9-->18-->27-->None
0-->3-->6-->9-->12-->15-->18-->21-->24-->27-->None
查找跳表 sl 中数据元素 15： Node(15, 1)

相关链接

线性表基本概念
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单链表及其操作实现