二叉树

1. 树形结构

1.1 概念

树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。它具有以下的特点：

• 有一个特殊的节点，称为根节点，根节点没有前驱节点
• 除根节点外，其余节点被分成M(M > 0)个互不相交的集合T1、T2、…Tm，其中每一个集合 Ti (1 <= i<= m) 又是一棵与树类似的子树。每棵子树的根节点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继
• 树是递归定义的。

节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度； 如上图：A的为6
树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度； 如上图：树的度为6
叶子节点或终端节点：度为0的节点称为叶节点； 如上图：B、C、H、I…等节点为叶节点
双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点； 如上图：A是B的父节点孩
子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点； 如上图：B是A的孩子节点
根结点：一棵树中，没有双亲结点的结点；如上图：A
节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；
树的高度或深度：树中节点的最大层次； 如上图：树的高度为4
非终端节点或分支节点：度不为0的节点； 如上图：D、E、F、G…等节点为分支节点
兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点； 如上图：B、C是兄弟节点
堂兄弟节点：双亲在同一层的节点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟节点
节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；如上图：A是所有节点的祖先
子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图：所有节点都是A的子孙
森林：由m（m>=0）棵互不相交的树的集合称为森林

1.2 树的表示形式

树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，实际中树有很多种表示方式，如：双亲表示法，孩子表示法、孩子兄弟表示法等等。我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法。

class Node {
	int value;// 树中存储的数据
	Node firstChild;// 第一个孩子引用
	Node nextBrother;// 下一个兄弟引用
}

1.3 树的应用

文件系统管理（目录和文件）

2. 二叉树

2.1 概念

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合或者为空，或者是由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉
树组成。
二叉树的特点：

1. 每个结点最多有两棵子树，即二叉树不存在度大于 2 的结点。
2. 二叉树的子树有左右之分，其子树的次序不能颠倒，因此二叉树是有序树。

2.2 二叉树的基本形态

一般二叉树都是由以下几个基本形态结合而形成的。

2.3 两种特殊的二叉树

1. 满二叉树: 一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是 ，则它就是满二叉树。
2. 完全二叉树: 完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

2.4 二叉树的性质

1. 若规定根节点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有 2i-1 (i>0)个结点
2. 若规定只有根节点的二叉树的深度为1，则深度为K的二叉树的最大结点数是 2k-1(k>=0)
3. 对任何一棵二叉树, 如果其叶结点个数为 n0, 度为2的非叶结点个数为 n2,则有n0＝n2＋1
4. 具有n个结点的完全二叉树的深度k为 log2(n+1) 上取整
5. 对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i的结点有：
         若i>0，双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根节点编号，无双亲节点
         若2i+1<n，左孩子序号：2i+1，否则无左孩子
         若2i+2<n，右孩子序号：2i+2，否则无右孩子

比如：假设一棵完全二叉树中总共有1000个节点，则该二叉树中 500 个叶子节点， 500 个非叶子节点， 1 个节点只有左孩子，0个只有右孩子。

2.5 二叉树的存储

二叉树的存储结构分为：顺序存储和类似于链表的链式存储。
顺序存储 存储的是完全二叉树
二叉树的链式存储是通过一个一个的节点引用起来的，常见的表示方式有二叉和三叉表示方式，具体如下：

// 孩子表示法
class Node {
	int val;// 数据域
	Node left;// 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树
	Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树
}

// 孩子双亲表示法
class Node {
	int val;// 数据域
	Node left;// 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树
	Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树
	Node parent; // 当前节点的根节点
}

2.6 二叉树的遍历

如果N代表根节点，L代表根节点的左子树，R代表根节点的右子树，则根据遍历根节点的先后次序有以下遍历方式：

1. NLR：前序遍历(Preorder Traversal 亦称先序遍历)——访问根结点—>根的左子树—>根的右子树。
2. LNR：中序遍历(Inorder Traversal)——根的左子树—>根节点—>根的右子树。
3. LRN：后序遍历(Postorder Traversal)——根的左子树—>根的右子树—>根节点。

2.7 二叉树的基本操作

第一步: 首先这里我们用穷举法先来创建一个二叉树来测试这些操作.

package BinaryTree;
class TreeNode{
    public char val;
    public TreeNode left;
    public TreeNode right;

    public TreeNode(char val){
        this.val = val;
    }
}
public class BinaryTree {
    public TreeNode createTree() {
        TreeNode A = new TreeNode('A');
        TreeNode B = new TreeNode('B');
        TreeNode C = new TreeNode('C');
        TreeNode D = new TreeNode('D');
        TreeNode E = new TreeNode('E');
        TreeNode F = new TreeNode('F');
        TreeNode G = new TreeNode('G');
        TreeNode H = new TreeNode('H');
        A.left = B;
        A.right = C;
        B.left = D;
        B.right = E;
        E.right = H;
        C.left = F;
        C.right = G;
        return A;
    }
}

此时的二叉树图形如图:

第二步: 用代码实现3种遍历二叉树的方法.

// 前序遍历
    void preOrderTraversal(TreeNode root) {
        if (root == null) {
            return;
        }
        System.out.print(root.val + " ");
        preOrderTraversal(root.left);
        preOrderTraversal(root.right);
    }
    // 中序遍历
    void inOrderTraversal(TreeNode root){
        if(root == null){
            return;
        }
        inOrderTraversal(root.left);
        System.out.print(root.val + " ");
        inOrderTraversal(root.right);
    }
    // 后序遍历
    void postOrderTraversal(TreeNode root){
        if(root == null){
            return;
        }
        postOrderTraversal(root.left);
        postOrderTraversal(root.right);
        System.out.print(root.val + " ");
    }

第三步: 两种方法求结点个数

// 遍历思路-求结点个数
    static int size = 0;
    void getSize1(TreeNode root){
        if(root == null){
            return;
        }
        size++;
        getSize1(root.left);
        getSize1(root.right);
    }

    // 子问题思路-求结点个数
    int getSize2(TreeNode root){
        if(root == null){
            return 0;
        }
        return getSize2(root.left) + getSize2(root.right) + 1;
    }

第四步: 两种方法求叶子结点的个数

// 遍历思路-求叶子结点个数
    static int leafSize = 0;
    void getLeafSize1(TreeNode root){
        if(root == null){
            return ;
        }
        if(root.left == null && root.right==null){
            leafSize++;
        }
        getLeafSize1(root.left);
        getLeafSize1(root.right);
    }

    // 子问题思路-求叶子结点个数
    int getLeafSize2(TreeNode root){
        if(root == null){
            return 0;
        }
        if(root.left == null && root.right ==null){
            return 1;
        }
        return getLeafSize2(root.left) + getLeafSize2(root.right);
    }

第五步: 求第 k 层结点个数

int getKLevelSize(TreeNode root,int k){
        if(root == null){
            return 0;
        }
        if(k == 1){
            return 1;
        }
        return getKLevelSize(root.left,k-1) + getKLevelSize(root.right,k-1) ;
    }

第六步: 查找val所在的位置

// 查找 val 所在结点，没有找到返回 null
    // 按照 根 -> 左子树 -> 右子树的顺序进行查找
    // 一旦找到，立即返回，不需要继续在其他位置查找
    TreeNode find(TreeNode root, char val){
        if(root == null){
            return null;
        }
        if(root.val == val){
            return root;
        }
        TreeNode ret = find(root.left,val);
        if(ret != null){
            return ret;
        }
        ret = find(root.right,val);
        if(ret != null){
            return ret;
        }
        return null;
    }

第七步: 获取二叉树的高度

// 获取二叉树的高度
    int getHeight(TreeNode root){
        if(root == null){
            return 0;
        }
        int leftHeight = getHeight(root.left);
        int rightHeight = getHeight(root.right);
        return leftHeight > rightHeight ? leftHeight + 1 : rightHeight + 1;
    }

第八步: 运行测试结果

public static void main(String[] args) {
        BinaryTree binaryTree = new BinaryTree();
        TreeNode root = binaryTree.createTree();
        System.out.print("前序遍历结果:  ");
        binaryTree.preOrderTraversal(root);
        System.out.println();
        System.out.print("中序遍历结果:  ");
        binaryTree.inOrderTraversal(root);
        System.out.println();
        System.out.print("后序遍历结果:  ");
        binaryTree.postOrderTraversal(root);
        System.out.println();
        binaryTree.getSize1(root);
        System.out.println("结点数: "+BinaryTree.size);
        int ret = binaryTree.getSize2(root);
        System.out.println("结点数: "+ret);

        binaryTree.getLeafSize1(root);
        System.out.println("叶子节点数: "+BinaryTree.leafSize);
        int ret1 = binaryTree.getLeafSize2(root);
        System.out.println("叶子节点数: "+ret1);

        int ret2 = binaryTree.getKLevelSize(root,3);
        System.out.println("求k层节点数: "+ret2);

        TreeNode b= binaryTree.find(root,'H');
        System.out.println(b.val);

        System.out.println("求二叉树的深度: "+binaryTree.getHeight(root));
    }

运行结果:

2.8 层序遍历

设二叉树的根节点所在层数为1，层序遍历就是从所在二叉树的根节点出发，首先访问第一层的树根节点，然后从左到右访问第2层上的节点，接着是第三层的节点，以此类推，自上而下，自左至右逐层访问树的结点的过程就是层序遍历。

a) 层序遍历代码实现:

// 层序遍历
    void levelOrderTraversal(TreeNode root){
        if(root == null) return ;
        Queue<TreeNode> queue = new LinkedList<>();
        queue.offer(root);

        while(!queue.isEmpty()){
            TreeNode top = queue.poll();
            System.out.print(top.val+" ");
            if(top.left != null)
                queue.offer(top.left);
            if(top.right != null)
                queue.offer(top.right);
        }
        System.out.println();
    }

b) 判断一棵树是不是完全二叉树

方法一思路:

1. 将树按照层序遍历的方法,放入队列中,不同的是将左右节点都放入队列中,不论节点是否为空都放入
2. 循环取出队首元素,如果队首为null就结束循环.
3. 如果此时队列不为空.
①队列还有节点,那么就不是完全二叉树
②队列全是null,那么就是完全二叉树.
4. 循环结束那么就是true;

代码实现:

boolean isCompleteTree(TreeNode root) {
        if (root == null) return true;
        Queue<TreeNode> queue = new LinkedList<>();
        queue.offer(root);
        while (!queue.isEmpty()) {
            TreeNode top = queue.poll();
            //左子树 和 右子树 都放入队列(不论是不是null)
            if (top != null) {
                queue.offer(top.left);
                queue.offer(top.right);
            } else {
            	//如果队首为空就跳出循环
                break;
            }
        }
        //如果队不为空,说明是因为break结束的循环.那么就需要判断队里的元素
        while (!queue.isEmpty()) {
            TreeNode cur = queue.peek();
            //如果队首为空,就出队
            if (cur == null){
                queue.poll();
            }else {
            //遇到不为空的节点就表示不是完全二叉树.
                return false;
            }
        }
        //队空既为true;
        return true;
    }

方法二思路:

1. 观察完全二叉树的图形我们可以看出来,每个节点要么有2个子节点,要么没有节点,要么就只有一个左节点没有右节点.
2. 遍历判断
①如果左子树和右子树都不为空,就入队.
②如果左子树存在 右子树不存在,那么进行第二个判断.
③如果左子树不存在 右子树存在,那么直接false
④如果左子树右子树都不存在,那么也进入第二个判断.
3. 第二个判断,判断是否接下来的左子树和右子树都为空,如果不为空,就是false;一直为空就是true;

代码实现:

boolean isCompleteTree1(TreeNode root) {
        Queue<TreeNode> queue = new LinkedList<>();
        queue.offer(root);
        boolean isComplete = true;

        while(!queue.isEmpty()){
            TreeNode top = queue.poll();
            if(isComplete) {
            	//1.都不为空 入队
                if (top.left != null && top.right != null) {
                    queue.offer(top.left);
                    queue.offer(top.right);
                } else if (top.left != null && top.right == null) {
                //2.左子树不为空,右子树为空,进入第二个判断
                    isComplete = false;
                    queue.offer(top.left);
                } else if (top.left == null && top.right != null) {
                //3.左子树为空,右子树不为空,不符合完全二叉树概念false
                    return false;
                } else {
                //4.左右子树都为空,进入第二个判断
                    isComplete = false;
                }
            }else {
            //第2判断

				//如果后面的节点还有子树,那就不符合完全二叉树概念 false
                if(top.left != null || top.right != null){
                    return false;
                }
            }
        }
        //循环遍历结束,那就是满足条件,返回true;
        return true;
    }

2.9 前中后序的非递归实现

①前序遍历 (非递归)

// 前序遍历
    void preOrderTraversal(TreeNode root) {
        if (root == null) return;
        TreeNode cur = root;
        Stack<TreeNode> stack = new Stack<>();
        while (cur != null || !stack.empty()) {
            while (cur != null) {
                stack.push(cur);
                System.out.print(cur.val+" ");
                cur = cur.left;
            }
            TreeNode top = stack.pop();
            cur = top.right;
        }
    }

②中序遍历 (非递归)

// 中序遍历
    void inOrderTraversal(TreeNode root){
        if(root == null) return ;
        Stack<TreeNode> stack = new Stack<>();
        TreeNode cur = root;
        while(cur != null || !stack.empty()) {
            while (cur != null) {
                stack.push(cur);
                cur = cur.left;
            }
            TreeNode top = stack.pop();
            System.out.print(top.val + " ");
            cur = top.right;
        }
    }

③后序遍历 (非递归)

// 后序遍历
    void postOrderTraversal(TreeNode root){
        if(root == null)
            return;
        TreeNode cur = root;
        TreeNode pre = null;//用来指向上一个被打印的元素
        Stack<TreeNode> stack = new Stack<>();

        while(cur != null || !stack.empty()){
            while(cur != null){
                stack.push(cur);
                cur = cur.left;
            }
            cur = stack.peek();
            if(cur.right == null || pre == cur.right ){
                stack.pop();
                System.out.print(cur.val+" ");
                pre = cur;
                cur = null;
            }else {
                cur = cur.right;
            }
        }
    }