之前在https://blog.csdn.net/fengbingchun/article/details/123955067介绍过SGD(Mini-Batch Gradient Descent(MBGD)，有时提到SGD的时候，其实指的是MBGD)。这里介绍下带动量(Momentum)的SGD。

    SGD(Stochastic Gradient Descent)难以导航沟壑(SGD has trouble navigating ravines)，即SGD在遇到沟壑时容易陷入震荡。

    **Momentum是一种有助于在相关方向上加速SGD****收敛(****加速学习)**并抑制振荡的方法。Momentum具有抑制梯度变化的效果，进而抑制搜索空间中每个新点的步长。如下图所示，截图来自：https://arxiv.org/pdf/1609.04747.pdf

    Momentum是梯度下降优化算法的扩展，通常称为带动量的梯度下降。它旨在加速优化过程，例如减少达到最优值所需的函数评估次数，或提高优化算法的能力，例如从而获得更好的最终结果(It is designed to accelerate the optimization process, e.g. decrease the number of function evaluations required to reach the optima, or to improve the capability of the optimization algorithm, e.g. result in a better final result)。

    Momentum涉及添加一个额外的超参数mu，该参数控制梯度下降更新方程中的历史量(动量)。超参数mu的值定义在0.0到1.0的范围内，并且通常具有接近1.0的值，例如0.8、0.9或0.99。0.0的动量与没有动量的梯度下降相同。较大的mu(如0.9)将意味着更新受到先前更新的影响较大，而较小的mu(如0.2)将意味着影响较小。

    Momentum在目标函数具有大曲率(例如变化很大)的优化问题中最有用，这意味着梯度可能在搜索空间的相对较小区域内发生很大变化(Momentum is most useful in optimization problems where the objective function has a large amount of curvature (e.g. changes a lot), meaning that the gradient may change a lot over relatively small regions of the search space)。当搜索空间平坦或接近平坦时，动量很有帮助，例如零梯度。动量允许搜索与平坦点之前相同的方法进行，并有助于穿过平坦区域。

    加入动量的SGD，其参数更新方向不仅由当前的梯度决定，也与此前累积的梯度下降方向有关。若当前的梯度方向与累积的历史梯度方向一致，则当前的梯度会被加强，从而这一步下降的幅度更大。若当前的梯度方向与累积的梯度方向不一致，则会减弱当前下降的梯度幅度。由此产生了加速收敛和减少震荡的效果。

    以上内容主要参考：

    1. https://machinelearningmastery.com/gradient-descent-with-momentum-from-scratch/

    2. 7.4. 动量法 — 《动手学深度学习》 文档

    以下是与SGD不同的代码片段：

    1. 在原有枚举类Optimization的基础上新增SGD_Momentum：

enum class Optimization {
	BGD, // Batch Gradient Descent
	SGD, // Stochastic Gradient Descent
	MBGD, // Mini-batch Gradient Descent
	SGD_Momentum // SGD with momentum
};

    2. 在原有LogisticRegression2类的基础上新增set_mu，用于设置动量项超参数mu：

void set_mu(float mu) { mu_ = mu; }

    3. 为了每次运行与SGD产生的随机初始化权值相同，这里使用std::default_random_engine:

template<typename T>
void generator_real_random_number(T* data, int length, T a, T b, bool default_random)
{
	// 每次产生固定的不同的值
    std::default_random_engine generator;

    std::uniform_real_distribution<T> distribution(a, b);
    for (int i = 0; i < length; ++i)
        data[i] = distribution(generator);
}

    4. 为了对数据集每次执行shuffle时，结果一致，这里有std::random_shuffle调整为std::shuffle:

//std::srand(unsigned(std::time(0)));
//std::random_shuffle(random_shuffle_.begin(), random_shuffle_.end(), generate_random); // 每次执行后random_shuffle_结果不同
std::default_random_engine generator;
std::shuffle(random_shuffle_.begin(), random_shuffle_.end(), generator); // 每次执行后random_shuffle_结果相同

    5. calculate_gradient_descent函数：

void LogisticRegression2::calculate_gradient_descent(int start, int end)
{
	switch (optim_) {
		case Optimization::SGD_Momentum: {
			int len = end - start;
			std::vector<float> change(feature_length_, 0.);
			std::vector<float> z(len, 0), dz(len, 0);
			for (int i = start, x = 0; i < end; ++i, ++x) {
				z[x] = calculate_z(data_->samples[random_shuffle_[i]]);
				dz[x] = calculate_loss_function_derivative(calculate_activation_function(z[x]), data_->labels[random_shuffle_[i]]);

				for (int j = 0; j < feature_length_; ++j) {
					float new_change = mu_ * change[j] - alpha_ * (data_->samples[random_shuffle_[i]][j] * dz[x]);
					w_[j] += new_change;
					change[j] = new_change;
				}

				b_ -= (alpha_ * dz[x]);
			}
		}
			break;
		case Optimization::SGD:
		case Optimization::MBGD: {
			int len = end - start;
			std::vector<float> z(len, 0), dz(len, 0);
			for (int i = start, x = 0; i < end; ++i, ++x) {
				z[x] = calculate_z(data_->samples[random_shuffle_[i]]);
				dz[x] = calculate_loss_function_derivative(calculate_activation_function(z[x]), data_->labels[random_shuffle_[i]]);

				for (int j = 0; j < feature_length_; ++j) {
					w_[j] = w_[j] - alpha_ * (data_->samples[random_shuffle_[i]][j] * dz[x]);
				}

				b_ -= (alpha_ * dz[x]);
			}
		}
			break;
		case Optimization::BGD:
		default: // BGD
			std::vector<float> z(m_, 0), dz(m_, 0);
			float db = 0.;
			std::vector<float> dw(feature_length_, 0.);
			for (int i = 0; i < m_; ++i) {
				z[i] = calculate_z(data_->samples[i]);
				o_[i] = calculate_activation_function(z[i]);
				dz[i] = calculate_loss_function_derivative(o_[i], data_->labels[i]);

				for (int j = 0; j < feature_length_; ++j) {
					dw[j] += data_->samples[i][j] * dz[i]; // dw(i)+=x(i)(j)*dz(i)
				}
				db += dz[i]; // db+=dz(i)
			}

			for (int j = 0; j < feature_length_; ++j) {
				dw[j] /= m_;
				w_[j] -= alpha_ * dw[j];
			}

			b_ -= alpha_*(db/m_);
	}
}

    执行结果如下所示：测试函数为test_logistic_regression2_gradient_descent，多次执行每种配置，最终结果都相同。SGD耗时7秒，识别率为99.94%；mu值不同，带动量的SGD的耗时和识别率也不同，当mu为0.7时，耗时最少为3秒，识别率为99.89%，识别率比SGD略低；当mu为0.5时，耗时4秒，识别率与SGD相同。

     GitHub：https://github.com/fengbingchun/NN_Test