**     **之前在https://blog.csdn.net/fengbingchun/article/details/123955067 介绍过SGD(Mini-Batch Gradient Descent(MBGD)，有时提到SGD的时候，其实指的是MBGD)。这里介绍下自适应梯度优化算法。

**      AdaGrad****：全称Adaptive Gradient****，自适应梯度，是梯度下降优化算法的扩展**。AdaGrad是一种具有自适应学习率的梯度下降优化方法。它使参数的学习率自适应，对不频繁的参数执行较大的更新，对频繁的参数执行较小的更新(It adapts the learning rate to the parameters, performing larger updates for infrequent and smaller updates for frequent parameters)。因此，它非常适合处理稀疏数据。AdaGrad可大大提高SGD****的鲁棒性。如下图所示，截图来自：https://arxiv.org/pdf/1609.04747.pdf

**     **在SGD中，我们每次迭代对所有参数进行更新，因为每个参数使用相同的学习率。而AdaGrad在每个时间步长(every time step)对每个参数使用不同的学习率。在SGD和MBSD中，对于每个权值(each weight)或者说对于每个参数(each parameter)，学习率的值都是相同的。但是在AdaGrad中，每个权值都有不同的学习率。在现实世界的数据集中，一些特征是稀疏的(大部分特征为零，所以它是稀疏的)，而另一些则是密集的(dense，大部分特征是非零的)，因此为所有权值保持相同的学习率不利于优化。

**      AdaGrad的主要优点之一是它消除了手动调整学习率的需要**。AdaGrad****在迭代过程中不断调整学习率，并让目标函数中的每个参数都分别拥有自己的学习率。大多数实现使用学习率默认值为0.01，开始设置一个较大的学习率。

**     **AdaGrad的主要弱点是它在分母中累积平方梯度：由于每个添加项都是正数，因此在训练过程中累积和不断增长。这反过来又导致学习率不断变小并最终变得无限小，此时算法不再能够获得额外的知识即导致模型不会再次学习。Adadelta算法旨在解决此缺陷。

    以下是与SGD不同的代码片段：

    1.在原有枚举类Optimization的基础上新增AdaGrad：

enum class Optimization {
	BGD, // Batch Gradient Descent
	SGD, // Stochastic Gradient Descent
	MBGD, // Mini-batch Gradient Descent
	SGD_Momentum, // SGD with Momentum
	AdaGrad // Adaptive Gradient
};

    2.为了每次运行与SGD产生的随机初始化权值相同，这里使用std::default_random_engine

template<typename T>
void generator_real_random_number(T* data, int length, T a, T b, bool default_random)
{
	// 每次产生固定的不同的值
    std::default_random_engine generator;
 
    std::uniform_real_distribution<T> distribution(a, b);
    for (int i = 0; i < length; ++i)
        data[i] = distribution(generator);
}

    3.为了对数据集每次执行shuffle时结果一致，这里有std::random_shuffle调整为std::shuffle：

//std::srand(unsigned(std::time(0)));
//std::random_shuffle(random_shuffle_.begin(), random_shuffle_.end(), generate_random); // 每次执行后random_shuffle_结果不同
std::default_random_engine generator;
std::shuffle(random_shuffle_.begin(), random_shuffle_.end(), generator); // 每次执行后random_shuffle_结果相同

    4.calculate_gradient_descent函数：

void LogisticRegression2::calculate_gradient_descent(int start, int end)
{
	switch (optim_) {
		case Optimization::AdaGrad: {
			int len = end - start;
			std::vector<float> g(feature_length_, 0.);
			std::vector<float> z(len, 0), dz(len, 0);
			for (int i = start, x = 0; i < end; ++i, ++x) {
				z[x] = calculate_z(data_->samples[random_shuffle_[i]]);
				dz[x] = calculate_loss_function_derivative(calculate_activation_function(z[x]), data_->labels[random_shuffle_[i]]);

				for (int j = 0; j < feature_length_; ++j) {
					float dw = data_->samples[random_shuffle_[i]][j] * dz[x];
					g[j] += dw * dw;
					w_[j] = w_[j] - alpha_ * dw / (std::sqrt(g[j]) + eps_);
				}

				b_ -= (alpha_ * dz[x]);
			}
		}
			break;
		case Optimization::SGD_Momentum: {
			int len = end - start;
			std::vector<float> change(feature_length_, 0.);
			std::vector<float> z(len, 0), dz(len, 0);
			for (int i = start, x = 0; i < end; ++i, ++x) {
				z[x] = calculate_z(data_->samples[random_shuffle_[i]]);
				dz[x] = calculate_loss_function_derivative(calculate_activation_function(z[x]), data_->labels[random_shuffle_[i]]);

				for (int j = 0; j < feature_length_; ++j) {
					float new_change = mu_ * change[j] - alpha_ * (data_->samples[random_shuffle_[i]][j] * dz[x]);
					w_[j] += new_change;
					change[j] = new_change;
				}

				b_ -= (alpha_ * dz[x]);
			}
		}
			break;
		case Optimization::SGD:
		case Optimization::MBGD: {
			int len = end - start;
			std::vector<float> z(len, 0), dz(len, 0);
			for (int i = start, x = 0; i < end; ++i, ++x) {
				z[x] = calculate_z(data_->samples[random_shuffle_[i]]);
				dz[x] = calculate_loss_function_derivative(calculate_activation_function(z[x]), data_->labels[random_shuffle_[i]]);

				for (int j = 0; j < feature_length_; ++j) {
					w_[j] = w_[j] - alpha_ * (data_->samples[random_shuffle_[i]][j] * dz[x]);
				}

				b_ -= (alpha_ * dz[x]);
			}
		}
			break;
		case Optimization::BGD:
		default: // BGD
			std::vector<float> z(m_, 0), dz(m_, 0);
			float db = 0.;
			std::vector<float> dw(feature_length_, 0.);
			for (int i = 0; i < m_; ++i) {
				z[i] = calculate_z(data_->samples[i]);
				o_[i] = calculate_activation_function(z[i]);
				dz[i] = calculate_loss_function_derivative(o_[i], data_->labels[i]);

				for (int j = 0; j < feature_length_; ++j) {
					dw[j] += data_->samples[i][j] * dz[i]; // dw(i)+=x(i)(j)*dz(i)
				}
				db += dz[i]; // db+=dz(i)
			}

			for (int j = 0; j < feature_length_; ++j) {
				dw[j] /= m_;
				w_[j] -= alpha_ * dw[j];
			}

			b_ -= alpha_*(db/m_);
	}
}

    执行结果如下图所示：测试函数为test_logistic_regression2_gradient_descent，多次执行每种配置，最终结果都相同。在它们学习率及其它配置参数相同的情况下，AdaGrad耗时为16秒，而SGD仅为7秒；但AdaGrad的识别率为100%，SGD的识别率为99.89%。

    GitHub： https://github.com/fengbingchun/NN_Test