1.题目

给定一个三角形 triangle ，找出自顶向下的最小路径和。

每一步只能移动到下一行中相邻的结点上。相邻的结点在这里指的是下标与上一层结点下标相同或者等于上一层结点下标 + 1 的两个结点。也就是说，如果正位于当前行的下标 i ，那么下一步可以移动到下一行的下标 i 或 i + 1 。

示例 1：

输入：triangle = [[2],[3,4],[6,5,7],[4,1,8,3]]
输出：11
解释：如下面简图所示：
   2
  3 4
 6 5 7
4 1 8 3
自顶向下的最小路径和为 11（即，2 + 3 + 5 + 1 = 11）。

示例 2：

输入：triangle = [[-10]]
输出：-10

提示：
1 <= triangle.length <= 200
triangle[0].length == 1
triangle[i].length == triangle[i - 1].length + 1
-104 <= triangle[i][j] <= 104

进阶：
你可以只使用 O(n) 的额外空间（n 为三角形的总行数）来解决这个问题吗？

来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode.cn/problems/triangle

2.思路

（1）动态规划
① 为了方便取到三角形 triangle 中的节点值，我们先将三角形 triangle 存储到 matrix 中，其形状变为等腰直角三角形，并且只占 matrix 左下部分空间，可以参考下面这个例子：

2			2				2 0 0 0
  3 4	  =>	3 4	  	  =>	3 4 0 0 				
 6 5 7			6 5 7			6 5 7 0
4 1 8 3			4 1 8 3			4 1 8 3

② 在 matrix 中，自顶向下求出每层每个结点位置的最小路径和，那么求解结束后 matrix 中最后一行的最小值即为全局自顶向下的最小路径和。具体求解过程可以看下面的过程。

2 0 0 0			2 0 0 0			2  0  0  0			2  0  0  0
3 4 0 0	  =>	5 6 0 0	  	 	5  6  0  0			5  6  0  0				
6 5 7 0			6 5 7 0   =>	11 10 13 0			11 10 13 0
4 1 8 3			4 1 8 3   		4  1  8  3   =>     14 11 18 16    =>  11 即为自顶向下的最小路径和

③ 在求解过程中注意要考虑边界问题，并且由于该方法使用了 n * n 的二维数组 matrix，故其空间复杂度为 O(n2)。在空间复杂度上，本题还可进一步优化，具体细节可参考本题官方题解。

3.代码实现（Java）

//思路1————动态规划
class Solution {
    public int minimumTotal(List<List<Integer>> triangle) {
        int res = Integer.MAX_VALUE;
        int n = triangle.size();
        if (n == 1) {
            return triangle.get(0).get(0);
        }
        //将三角形 triangle 中的结点存储到 matrix 中（形状变为等腰直角三角形，只占 matrix 左下部分空间）
        int[][] matrix = new int[n][n];
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            for (int j = 0; j < triangle.get(i).size(); j++) {
                matrix[i][j] = triangle.get(i).get(j);
            }
        }
        //在 matrix 中，自顶向下求出每层每个结点位置的最小路径和
        for (int i = 1; i < n; i++) {
            for (int j = 0; j < triangle.get(i).size(); j++) {
            	//注意要考虑边界问题
                if (j - 1 >= 0 && j < triangle.get(i).size() - 1) {
                    matrix[i][j] += Math.min(matrix[i - 1][j], matrix[i - 1][j - 1]);
                } else if (j - 1 < 0) {
                    matrix[i][j] += matrix[i - 1][j];
                } else if (j == triangle.get(i).size() - 1) {
                    matrix[i][j] += matrix[i - 1][j - 1];
                }
            }
        }
        // matrix 中最后一行的最小值即为全局自顶向下的最小路径和
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            res = Math.min(res, matrix[n - 1][i]);
        }
        return res;
    }
}