用scipy的solve_bvp求解耦合微分方程组

5n0oy7gb  于 2022-11-10  发布在  其他
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我想求解一个由7个耦合的二阶微分方程组成的边值问题,其中有7个函数y1(x),...y7(x),每个函数都由以下形式的微分方程来描述:

d^2yi/dx^2 = -(1/x)*dyi/dx - Li(y1,...,y7) for 0 < a <= x <= b,

其中Li是给出y1,...,y7的线性组合的函数。我们有dyi/dxx=a处的一阶导数和yix=b处的函数的边界条件:

dyi/dx(a) = Ai,
yi(b) = Bi.

因此,我们可以将其改写为14个耦合的一阶常微分方程的系统:

dyi/dx = zi,
dzi/dx = -(1/x)*zi - Li(y1,...,y7),

zi(a) = Ai,
yi(b) = Bi.

我想使用Python函数scipy.integrate.solve_bvp来求解这个方程组,但是我很难理解文档(https://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/generated/scipy.integrate.solve_bvp.html)中描述的函数的输入参数到底应该是什么。
这个函数需要的第一个参数是一个可调用的fun(x,y)。据我所知,输入参数y必须是一个由yizi的值组成的数组,并给出zidzi/dx的值作为输出。因此,我的函数看起来像这样(伪代码):

def fun(x,y):
    y1, z1, y2, z2, ..., y7, z7 = y
    return [z1, -(1/x)*z1 - L1(y1,...,y7),
            ...,
            z7, -(1/x)*z7 - L7(y1,...,y7)]

对不对?
然后,solve_bvp的第二个参数是一个可调用的bc(ya,yb),它应该计算边界条件的残差。在这里,我真的很难理解如何定义这样一个函数。我也不清楚数组yayb到底是什么,它们应该有什么形状?
第三个参数是x,它是形状为(m,)的“初始网格”。x应该只由点ab组成,这是我们知道边界条件的地方?还是应该是其他的东西?
最后第四个参数是y,它是“网格节点处函数值的初始猜测”,形状为(n,m)。它的第i列对应于x[i]。我猜第一行对应于y1,第二行对应于z1,第三行对应于y2,以此类推。对吗?此外,我们可以在x=ax=b处输入已知的边界条件,但是我们不知道函数在其他点上是什么样子的。另外,这个y和函数bc(ya,yb)有什么关系?输入参数ya,yb是不是以某种方式从这个y导出的?
对于理解solve_bvp的语法及其在这种情况下的应用的任何帮助都将非常感谢。

rnmwe5a2

rnmwe5a21#

对于边界条件,bc返回方程的残差。也就是说,转换方程,使右边为零,然后返回左边的向量。ya,yb是点x=a,b处的状态向量。
对于初始状态,它可以是任何值。然而,在大多数情况下,“任何值”都会由于奇异雅可比行列式或过大的网格而导致收敛失败。求解器所做的是求解一个大型非线性方程组(参见配置法)。对于任何此类系统,如果您从足够接近实际解的位置开始,则最能保证收敛。因此,您可以尝试yi

  • 值为Bi的常数函数
  • 斜率为Ai且在x=b处的值为Bi的线性函数

使用这些函数的导数来计算zi的值,这并不能保证一定有效,特别是在接近于零的时候,你的基解接近于常数解和对数,a越接近于零,它就越奇异。

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