我一直在想instance Functor (f :.: g)的 * 完整的、包罗万象的 * 上下文是什么样的。我脑子里立即冒出的想法是：
newtype (f :.: g) a = Comp (f (g a))
instance (Functor f, Functor g) => Functor (f :.: g) where
fmap f (Comp x) = Comp (fmap (fmap f) x)但是，两个反变函子也会合成为协变的，就像这样：
instance (Contravariant f, Contravariant g) => Functor (f :.: g) where
fmap f (Comp x) = Comp (contramap (contramap f) x)这已经不是一个有希望的开始了。然而，我也注意到，从技术上讲，f和g甚至不一定要有* -> *--对f :.: g :: * -> *的唯一要求是f :: k -> *和g :: * -> k对某些k。这意味着非函子类型可以组合成函子，例如：
newtype Fix f = Fix (f (Fix f))
instance Functor (Fix :.: (,)) where
fmap f (Comp x) = Comp (go x) where
go (Fix (x,xs)) = Fix (f x,go xs)Fix :.: (,)同构于Stream类型：
data Stream a = a :> Stream a所以这看起来确实是一个不小的问题。这让我思考--如果Haskell的Functor类型类表示从Hask到Hask的范畴函子，这是否意味着像Fix和(,)这样的类型可以是作用于其他范畴的函子？这些范畴会是什么？
1条答案
按热度按时间l7mqbcuq1#
是的，我们可以从构造函数的形状中读出它的意义，我们先来看看
(,)。(,)函式这将接受两个类型并生成一个类型。
也就是说，我们可以把这个函数拆开，同时取两个参数。所以
(,)可以看作是Hask × Hask到Hask的函子，其中Hask × Hask是product category。我们有一个词来描述定义域是两个范畴的乘积的函子。我们称之为双函子，它实际上在base的Haskell中。具体来说，双函子p能够将乘积范畴中从(a, b)到(a', b')的Map转换为从p a b到p a' b'的Map。Haskell的类型类以稍微不同但等效的方式编写此函数拥有一个Map
a -> b和一个Mapc -> d完全等价于拥有一个Map(a, c) -> (b, d)* 在产品类别 * 中。（我的意思是：产品类别中的MapX1 M15 N1 X被 * 定义 * 为MapX1 M16 N1 X和X1 M17 N1 X的产品）。Fix函数我们可以用同样的方法处理
Fix。它的形状是
它接受一个单参数类型构造函数并生成一个类型。
现在，在Haskell中，
* -> *部分可以是 * 任何 * 单参数类型的构造函数，但是绝对地说，使用函子要 * 好 * 得多。（我们很快就会用到），Fix的* -> *参数是Functor，也就是从Hask到Hask的函子。在这种情况下，
Fix就有了从functor categoryHask ^ Hask到范畴Hask的函子的正确形状。函子，绝对地，把对象带到对象，把箭头带到箭头，所以让我们一步一步地来。对象部分很简单，我们已经定义过了。具体来说，
Fix取函子f（函子是函子范畴的 * 对象 *;如果还没有意义，请再读一遍），并将其Map到我们刚刚定义的类型Fix f。现在，函子范畴的 * 箭头 * 是natural transformations。给定两个函子
f, g :: C -> D，从f到g的自然变换α是从C的 * 对象 * 到D的 * 箭头 * 的Map。具体地，对于范畴C中的每个对象x，α x应该是D中从f x到g x的箭头，具有以下相干条件：对于
C中的每个箭头h : x -> y，我们必须有(g h) . (α x) === (α y) . (f h)（使用符号如函数组合 * 非常 * 松散，符合真正的范畴论精神）
如图所示，下面必须画一个可交换图，
Haskell实际上并没有一个用于自然变换的内置类型。
这是一个自然变换的形状，当然我们还没有验证它的相干性，所以我们只能相信它满足这个性质。
记住这些抽象的废话，如果
Fix是从Hask ^ Hask到Hask的函子，它应该自然地变换成一个普通的 haskell 函数，它应该有下面的形状。一旦我们有了这个类型，我们就可以很容易地编写实现了。
或者，等价地（根据自然变换的规则），
我不知道这种形式的函子有什么惯用的名字，也不知道有什么类型类包含它，但当然没有什么能阻止你自己创建它。