alias: test-alias not found
alias: echo not found
alias: TEST not found

这是因为在sh中创建别名的正确语法是

alias test-alias='echo TEST'

已修复：

system("alias test-alias='echo TEST'");

sh: 1: test-alias: not found
在修复了第一个问题之后，仍然会出现这种情况。您确实创建了一个shell，并且在其中创建了一个名为test-alias的别名，但是该shell退出了。您正在一个新的shell中运行test-alias;，在该shell中还没有创建test-alias。
您需要在同一shell中运行这两个命令。
已修复：

system("alias test-alias='echo TEST'\ntest-alias");

Perl有一个特殊的全局变量%ENV，它存储了Perl启动时使用的所有环境变量。

my $shell = $ENV{SHELL};

获取所有环境变量。

while ( my ($key,$value) = each %ENV ) {
    printf "%s => %s\n", $key, $value;
}

您也可以使用这个杂凑来储存新的环境变量。

$ENV{FOO} = "bla";
system('echo $FOO');

上面将打印bla。如果你这样做的话，当然可以。

$ENV{FOO} = "bla";
system('/bin/bash');

然后它会产生一个新的Shell，你在那里设置了$FOO。但是我看不出这里有什么意义。只要在Linux中使用.profile或者其他什么来设置环境变量。
最后一点在我看来像是一个经典的XY问题。