你把事情搞混了。
first是一个方法，其中包含语法糖。
这

private string first() => "first";

变成

private string first()
{
    return "first";
}

因为它是一个方法，所以它可能有参数。

private void HelloWorld(string greeting) => Console.WriteLine($"{greeting}, world !");

那就变成

private void HelloWorld(string greeting)
{
    Console.WriteLine($"{greeting}, world !");

    // no return here because of void
}

second是一个属性，还涉及到语法糖。
这

private string second => "second";

变成

private string second
{
    get
    {
         return "second";
    }
}