您需要在追加之前克隆元素，以便保留原始元素。

$("#dialog-form-Member").append($("div#MemberFormWrapper").clone());

为了保留事件处理程序和/或数据，请检查clone方法@http://api.jquery.com/clone/的参数版本
摘录自http://api.jquery.com/clone/：
说明：创建匹配元素集的深层副本。
添加版本：1.0.clone（[ withDataAndEvents ]）withDataAndEvents一个布尔值，指示事件处理程序是否应该与元素沿着复制。从jQuery 1.4开始，元素数据也会被复制。
添加版本：1.5.clone（[ withDataAndEvents ]，[ deepWithDataAndEvents ]）withDataAndEvents一个布尔值，指示事件处理程序和数据是否应该与元素沿着复制。默认值是false。* 对于1.5.0，默认值是不正确的true。在1.5.1和更高版本中，这将改回false。
deepWithDataAndEvents布尔值，指示是否应复制克隆元素的所有子元素的事件处理程序和数据。默认情况下，其值与第一个参数的值匹配（默认为false）。

我相信你要找的是clone()

您要追加整个元素，只需要HTML。

$("#two").append($("#one").html());

输出：

<div id="one">
     I want to put this div into div 2 without div one disappearing. Keep both divs visible at the same time.
</div>

<div id="two">
     I want div one content to show here and keep both divs visible.  I want to put this div into div 2 without div one disappearing. Keep both divs visible at the same time.
</div>

或者，正如其他答案所建议的，您可以使用clone()，但要小心，因为这将使2个元素具有ID one，这是一个问题。

$("#two").append($("#one").clone());

输出：

<div id="one">
     I want to put this div into div 2 without div one disappearing. Keep both divs visible at the same time.
</div>

<div id="two">
     I want div one content to show here and keep both divs visible.
     <div id="one">
         I want to put this div into div 2 without div one disappearing. Keep both divs visible at the same time.
     </div>
</div>

请注意，有2个one元素，您需要更改其中一个元素的ID。

$('#one', '#two').attr('id', 'three');

clone追加之前的元素。

$("#two").append($("div#one").clone());

Demo

使用.clone（）制作一个完整的（深层）副本，并将其附加到您要添加它的元素中...

$('div#MemberFormWrapper').clone().appendTo('#dialog-form-Membe');