使用带掩码的DataFrame.dot-按带有列名和分隔符的1比较列，最后替换空字符串：

df['Presence'] = df.eq(1).dot(df.columns + ',').str[:-1].replace('','No Presence')
print (df)
   tray  bag  ball     Presence
0     0    1     1     bag,ball
1     0    1     0          bag
2     1    1     0     tray,bag
3     0    0     0  No Presence

编辑：如果_之前的值使用Series.str.extract，则添加expand=False以避免一列DataFrame：

print (df)
   tray_col  bag  ball
0         0    1     1
1         0    1     0
2         1    1     0
3         0    0     0

df['Presence'] = (df.eq(1)
                    .dot(df.columns.str.extract(r'^([^_]+)', expand=False) + ',')
                    .str[:-1].replace('','No Presence'))
print (df)
   tray_col  bag  ball     Presence
0         0    1     1     bag,ball
1         0    1     0          bag
2         1    1     0     tray,bag
3         0    0     0  No Presence