您需要[[ ... ]]，而不是((...))（用于 * 算术 * 表达式）

#!/bin/bash

read word

if [[ $word = "y" || $word = "Y" ]]
then    
    echo "YES"
elif [[ $word = "n" || $word = "N" ]]
then    
    echo "NO"
fi

您可以使用模式匹配而不是严格的相等性测试来简化此过程

if [[ $word = [Yy] ]]
then
    echo "YES"
elif [[ $word = [Nn] ]]
then
    echo "NO"
fi

或者使用标准case语句

case $word in
  [Yy]) echo "YES" ;;
  [Nn]) echo "NO" ;;
esac

您对条件使用了（非常）非标准语法。请考虑简化的：

#!/bin/bash

word=foo

if (( $word = 0 )) # || $word = "Y" ))
then
        echo "YES"
elif (( $word = 6 )) # || $word = "N" ))
then
        echo "NO"
fi

echo foo = $foo

这是一种有效的语法，因为bash会很乐意解析它，但它肯定不会执行您所期望的操作。if (( $word = 0 ))不检查$word是否等于0，而是将0赋给名为$word的变量（在本例中，它分配变量foo）并判断该值是否为非零。由于$foo现在为零，执行elif部分，并将6赋值给foo。$foo（6）的新值为非零，因此回显NO。
值y和Y在此上下文中被视为0，但是||在此是布尔运算符，并且代码$word = 'y' || $word = 'Y'被解析为好像它是$word = ( 'y' || $word ) = 'Y'，这错误地尝试分配非变量'y' || $word。（或者它可能正在计算'y' || $word，并试图分配变量0，这不是一个有效的名称。这感觉更像是一个哲学问题。这是一个解析错误，所以我们可能不应该尝试说它正在“尝试”做什么。）错误消息向您显示了这一点，并尽最大努力准确地指出错误所在。编写(( $word = 'y' || ( $word = 'Y') ))是有效的语法，它将0赋值给foo，但这肯定不是你想要的语义。相反，你的代码应该是：

#!/bin/bash

read word

case $word in
y|Y) echo YES;;
n|N) echo NO;;
esac

如果出于某种原因，您确实希望使用链式if/else而不是case，则需要的语法是：

#! /bin/bash

read word

if test "$word" = y || test "$word" = Y; then   
    echo "YES"
elif test "$word" = n || test "$word" = N; then 
    echo "NO"
fi

您经常会看到test被写为[并带有一个额外的尾随参数]，我认为这是一种可怕的做法。
还需要注意的是，我改变了你的引用方式，通常来说，用双引号将变量插入值括起来是个好主意，但是不需要将不包含特殊字符或空格的字符串括起来。