@dbush已经回答了为什么它不工作（数组索引从0开始）。这里是一种正确的方法。

#include <stdio.h>

void main() {
  int atomic_num;
  // TODO(Thomaskutty A): Increase the array size to 118 and add all the elements
  char element_names[10][10] = {"Hydrogen", "Helium", "Lithium", "Beryllium"};
  printf("WELCOME TO PERIODIC TABLE IMPLEMENTATION USING C LANGUAGE\n");
  printf("Please enter the atomic number of any element to view its details: ");
  scanf("%d", &atomic_num);
  // TODO(Thomaskutty A): Validate user input
  printf("The entered number is %d\n", atomic_num);
  printf("Name of the element is: %s\n", element_names[atomic_num - 1]);
}

您应该添加检查以验证用户输入。NTUI（Never Trust User Input）。
正如@dbush所说，在将代码发布到SO之前，对代码给予一点清理（格式化，删除不必要的字符，使用好的变量名，修复语法错误/拼写错误......）。以此为生的人看到写得很糟糕的代码时会讨厌它。
快乐的编码，并继续学习...）

数组的索引从0开始。
索引0、1和2处的name数组的内容-

+-------------------+
    name[0] ->|H|y|d|r|o|g|e|n|0|0|
              +-------------------+

              +-------------------+
    name[1] ->|o|x|y|g|e|n|0|0|0|0|
              +-------------------+

              +-------------------+
    name[2] ->|M|e|r|c|u|r|y|0|0|0|
              +-------------------+

你应该从用户输入中减去1，而不是将1添加到用户输入中，因为你将元素的原子序数作为用户的输入：

element = opt - 1;
          ^^^^^^^

如果用户在1处输入，则程序应显示Hydrogen，它存在于name数组的索引0处，对于输入2，程序应显示oxygen，它存在于name数组的索引1处，依此类推。
另外，使用void作为main()函数的返回类型不符合标准。main()函数的返回类型应该是int。