numpy 在Python中从头开始计算雅可比矩阵

os8fio9y 于 2023-04-12 发布在 Python

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我正在尝试实现softmax函数的导数矩阵（Softmax的雅可比矩阵）。
我从数学上知道Softmax（Xi）对Xj的导数是：

其中红色的δ是克罗内克δ。
到目前为止，我实现的是：

def softmax_grad(s):
    # input s is softmax value of the original input x. Its shape is (1,n) 
    # e.i. s = np.array([0.3,0.7]), x = np.array([0,1])

    # make the matrix whose size is n^2.
    jacobian_m = np.diag(s)

    for i in range(len(jacobian_m)):
        for j in range(len(jacobian_m)):
            if i == j:
                jacobian_m[i][j] = s[i] * (1-s[i])
            else: 
                jacobian_m[i][j] = -s[i]*s[j]
    return jacobian_m

当我测试时：

In [95]: x
Out[95]: array([1, 2])

In [96]: softmax(x)
Out[96]: array([ 0.26894142,  0.73105858])

In [97]: softmax_grad(softmax(x))
Out[97]: 
array([[ 0.19661193, -0.19661193],
       [-0.19661193,  0.19661193]])

你们是如何实现雅可比的？我想知道是否有更好的方法来做到这一点。任何参考网站/教程将不胜感激。

numpy

来源：https://stackoverflow.com/questions/45949141/compute-a-jacobian-matrix-from-scratch-in-python

3条答案

按热度按时间

9jyewag01#

您可以像下面这样对softmax_grad进行矢量化：

soft_max = softmax(x)

# reshape softmax to 2d so np.dot gives matrix multiplication
def softmax_grad(softmax):
    s = softmax.reshape(-1,1)
    return np.diagflat(s) - np.dot(s, s.T)

softmax_grad(soft_max)

#array([[ 0.19661193, -0.19661193],
#       [-0.19661193,  0.19661193]])

详情 *：sigma(j) * delta(ij)是一个对角矩阵，对角元素为sigma(j)，可以用np.diagflat(s)创建;sigma(j) * sigma(i)是softmax的矩阵乘法（或外积），可以使用np.dot计算：

赞(0）回复(0）举报 2023-04-12

q5lcpyga2#

我一直在修补这个，这就是我提出的。也许你会发现它很有用。我认为它比Psidom提供的解决方案更明确。

def softmax_grad(probs):
    n_elements = probs.shape[0]
    jacobian = probs[:, np.newaxis] * (np.eye(n_elements) - probs[np.newaxis, :])
    return jacobian

赞(0）回复(0）举报 2023-04-12

vcudknz33#

这里有一个比公认的答案更容易阅读的版本，它假设输入概率是（rows，n）而不是（1，n）。

def softmax_grad(probs):
   # probs has shape (rows, n)
   # output has shape (rows, n, n) giving the jacobian for each row of probabilities
   eye = np.eye(probs.shape[-1])
   return probs[:, None, :] * (eye[None, :, :] - probs[:, :, None])

赞(0）回复(0）举报 2023-04-12

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