如注解中所述，c不支持VLA（可变长度数组）-请参阅此处：Why aren't variable-length arrays part of the C++ standard?。
前面已经提到数组索引从0开始，而不是1（Array indexing starting at a number not 0）。
您可以使用std::vector和ranged-based loops（后者从c11开始可用）来避免这些问题。

您案例代码示例：

#include <iostream>
#include <vector>

int main()
{
    int number;
    std::cout << "Enter a array_size" << std::endl;
    std::cin >> number;

    // Read:
    std::vector<int> array(number);
    for (auto& elem : array)
    {
        std::cin >> elem;
    }

    // Print:
    for (auto const & elem : array)
    {
        std::cout << elem << std::endl;
    }
}

请注意，auto elem : array（没有&）不会工作，因为auto本身不会推断引用，而是复制元素。

**旁注：**最好避免using namespace std-参见：Why is "using namespace std;" considered bad practice?。

你的代码有两个问题。

首先int array[number];不是标准的c++，因为number不是常量表达式。
其次，数组索引从0开始，而不是c++中的1。

也有许多其他职位描述这些问题。
Array index always start at 0
Why accessing out of bound array does not give any error

数组应该始终从索引0开始。更新起始索引和条件。

//Reading and printing array
int array[number];  
int i=0; // should start with zero.
while(i<number){  // should be less than only since you start with zero.
    cin>>array[i];
    
    i++;

}
//printing array
int j=0;
while(j<number){   // should be less than only since you start with zero.
    cout<<array[j]<<endl;
    j++;
}

数组索引从0开始，而不是从1开始。
更正代码：

//Reading and printing array
  int array[number];
  int i = 0;
  while (i < number) {
    cin >> array[i];
    i++;
  }

  //printing array
  int j = 0;
  while (j < number) {
    cout << array[j] << endl;
    j++;
  }

在这里使用for循环更符合习惯：

//Reading and printing array
  int array[number];

  for (int i = 0; i < number; i++) {
    cin >> array[i];
  }

  //printing array
  for (int i = 0; i < number; i++) {
    cout << array[j] << endl;
  }