正如@AnandJayabalan所指出的，**$sqrt**运算符将随MongoDB版本3.2发布，其语法为：

{ $sqrt: <number> }

在您的示例中，这将是

db.collection.aggregate([
  { $group: { _id: null, total: { $sum: "$values" }}}, 
  { $project: { answer: { $sqrt: "$total" }}}])

在撰写本文时，作为一种变通方法，John Page关于calculating square roots within the aggregation framework的链接博客文章使用算术原语通过牛顿法计算平方根。
为了解释这个算法是如何工作的，假设你想找到一个正数N的平方根。牛顿的方法涉及对一个数字A进行有根据的猜测，当平方时，将接近等于N。
例如，如果N = 121，您可能会猜测A = 10，因为A² = 100，这是一个接近的猜测，但您可以做得更好。
该方法中使用的方程是 * 牛顿平方根方程 *：

何处

• N是一个正数，您要求其平方根
• √是平方根符号
• ≈表示“近似等于……”
• A是你的猜测

如果需要，牛顿法允许您多次重复估计，以接近一个精确的数字。以John Page的例子N = 29为例，您可以猜测A = 5，然后将这些值输入到公式和算法步骤中

**a.**从猜测A = 5开始
**B.**将N除以猜测值(29/5 = 5.9)
**c.**将其添加到猜测(5.9 + 5 = 10.9)中
**d.**然后将结果除以2 (10.9/2 = 5.45)
e.将其设置为新的猜测A = 5.45，并重复，从B开始。

5.45 5.38555 5.38516
经过2次迭代，答案是3.1623，接近平方根的精确值。
现在，使用聚合框架（来自John Page的博客文章）并将其应用到您的示例中，聚合管道将是：

var groupPipeline = { $group: _id: null, total: { $sum: "$values" } },
    firstGuess = { 
        $project : { 
            n : "$total", r : { $literal : 5 } /* similar to step a) in the algorithm, the $literal operator sets r to the value 5 */
        } 
    },
    refineStep = { 
        $project : { 
            n: 1, r : { 
                $divide : [  /* step d) of the algorithm */
                    { 
                        $add : [ /* step c) of the algorithm */
                            { $divide : [ "$n", "$r"] },  /* step b) of the algorithm */
                            "$r" 
                        ]
                    },
                    2 
                ]
            }
        }
    };

/* Run the aggregation pipeline */
> db.collection.aggregate(groupPipeline, firstGuess, refineStep, refineStep, refineStep)

> { "_id" : ObjectId("538062103439ddd3764ff791"), "n" : 29, "r" : 5.385164807134505 }

Mongo 3.2将有一个原生的sqrt method for the aggregation framework。
如果参数解析为null值或引用的字段丢失，则$sqrt返回null。如果参数解析为NaN，则$sqrt返回NaN。
负数上的$sqrt错误。

这篇文章很老了，但是我们需要编写自己的立方根实现来替换$pow(x,1/3)。原因是我们使用AWS DocumentDB不必托管和管理我们自己的MongoDB数据库。但是，AWS Document DB在其两个版本中都不支持运算符$sqrt或$pow。我也不明白他们为什么不支持它。
我们实现了两个版本，使用Netwon的方法和Halley的方法（因为后者收敛得更快）。从技术上讲，它们也是基于使用聚合框架的@chridram的答案。您可以复制确切的命令以重现它：
启动一个docker容器并执行mongosh：

docker run -d -p 27017:27017 --name test-mongo mongo:latest
docker exec -it test-mongo mongosh

Netwon方法：

use test
db.roots.insert({n:29})
firstguess = { $project : { n : 1, r : { $literal : 1}}}
refine = { $project : { n: 1, r : { $multiply: [{$divide: [1, 3]},{$add:[{$divide: ["$n", {$multiply: ["$r","$r"]}]},{$multiply:[2, "$r"]}]}]
}}}
db.roots.aggregate([firstguess,refine,refine,refine,refine,refine,refine,refine,refine])

Halley方法：

use test
db.roots.insert({n:29})
firstguess = { $project : { n : 1, r : { $literal : 1}}}
refine = { $project : { n: 1, r :
{
    $multiply: [
        "$r",
        {
            $divide: [
                {
                    $add: [
                        {$multiply: ["$r", "$r", "$r"]},
                        {$multiply: [2, "$n"]}
                    ]
                },
                {
                    $add: [
                        {$multiply: [2, "$r", "$r", "$r"]},
                        "$n"
                    ]
                }
            ]
        }
    ]
}}}
db.roots.aggregate([firstguess,refine,refine,refine,refine,refine,refine,refine,refine])

有关实际公式的更多详细信息，请参见https://en.wikipedia.org/wiki/Cube_root。
进一步的改进可以是使用$addFields而不是$project。它更容易阅读。参见https://www.mongodb.com/docs/manual/reference/operator/aggregation/addFields/