在现代Go语言中，最好的通用方法是使用标准库中的errors.Is和errors.As函数。
对于原始问题中的例子，这是非常直接的：

if errors.Is(err, syscall.ECONNREFUSED) {
    // Connection refused error
} else {
    // Some other kind of error
}

但是，这仅适用于正确 Package /创建以使用这些功能的错误。有时您可能需要混合使用errors.Is和errors.As与字符串比较。我做了一个a video，为那些感兴趣的人提供了一些细节。
我的老答案：
没有标准的方法来做到这一点。
最明显的方法是将错误字符串与您期望的字符串进行比较，只有在没有其他方法可用时才应使用该方法：

if err.Error() == "connection lost" { ... }

或者在某些情况下更健壮：

if strings.HasSuffix(err.Error(), ": connection lost") { ... }

但是许多库将返回特定的错误类型，这使得这变得容易得多。
在您的例子中，相关的是net包导出的各种错误类型：AddrError、DNSConfigError、DNSError、Error等。
您可能最关心net.Error，它用于网络错误。你可以这样检查：

if _, ok := err.(net.Error); ok {
    // You know it's a net.Error instance
    if err.Error() == "connection lost" { ... }
}

更重要的是，如何获得一个特定的标准库函数可能返回的所有错误？
要做到这一点，唯一简单的方法是阅读库的源代码。在走极端之前，第一步是简单地阅读godoc，就像net包一样，错误有很好的文档记录。

现在可以使用errors.Is()函数来比较一些标准误差：

client, err := net.Dial("tcp", ":1234")
if errors.Is(err, net.ErrClosed) {
    fmt.Println("connection has been closed.")
}

常见的文件打开场景：

file, err := os.Open("non-existing");
if err != nil {
    if errors.Is(err, fs.ErrNotExist) {
        fmt.Println("file does not exist")
    } else {
        fmt.Println(err)
    }
}

更新

如果你想检查错误类型，你也可以使用errors.As()：

client, err := net.Dial("tcp", ":1234")
var errC = net.ErrClosed
if errors.As(err, &errC) {
    fmt.Printf("connection has been closed: %s", errC)
}
client.Close()

更详细的解释可以在Go Blog中找到。