在出现错误的情况下，您可以使用Cloud Function写入/users/{uid}节点下的特定子节点，并让客户端前端侦听该子节点。
云函数代码如下所示：

exports.onUpdateUser = functions.firestore.document('/users/{uid}')
.onUpdate((change, context) => {
    const { uid } = context.params;
    const { email, displayName, photoURL } = change.after.data();

    return admin.auth().updateUser(uid, {
        email,
        displayName,
        photoURL
    })  
    .catch(error => {
        if (error == "auth/email-already-exists") {

           return admin.database().ref('/users/' + uid).set({updateError: true})
           .catch(error => {
                console.log("Error reporting email error");
                return false;
           });

        } else {
            console.log("Error updating user:", error);
            return false;
        }
    });

});

在前端监听/users/{uid}/updateError节点，如果写入新值，则显示警报/消息。确切的侦听器语法取决于您的前端技术（Web应用程序？安卓应用？iOS app？）。
请注意，在Cloud Function中，您利用了admin.auth().updateUser()方法的错误管理以及它返回特定代码的事实。
参见https://firebase.google.com/docs/auth/admin/errors
和https：//firebase.google.com/docs/auth/admin/manage-users#update_a_user，其中指出：
如果提供的uid与现有用户不对应，提供的电子邮件或电话号码已被现有用户使用，或者由于任何其他原因无法更新用户，则上述方法失败并出错。