试着改变

$('.featured-promo :first-child')

致：

$('.featured-promo > :first-child')

如果没有>，它会下降到每个级别。因此，它找到.featured-promo的第一个子节点（第一个a），以及每个a的第一个子节点（每个img）。它隐藏了所有这些，然后只在下一个a中消失。img标签保持隐藏状态，因为没有任何东西可以使它们淡入。
选择器中的>意味着只将下一部分与直接子级匹配，而不是所有子级。

错误就在那里

$(function(){
  $('.featured-promo a:gt(0)').hide();
   setInterval(function(){
     $('.featured-promo :first-child')// here
     .hide()
     .next('a')
     .fadeIn(2000)
     .end()
     .appendTo('.featured-promo');// no need to append as the for loop is already appending the anchors to the featured-promo.
   }, 1000);
)};

您正在调用.featured-promo上的.next('a') first-child，它不是.featured-promo的兄弟节点，而是它的子节点。elementA.next()用于获取同级元素（元素A之后的元素，即元素B）
要获取其他a s'，您应该像这样编写

$(function(){
  var index = 0;
  var total_a = $('.featured-promo a').length;
   setInterval(function(){
     $('.featured-promo a:gt(' + index + ')')
     .hide()
     .next('a')
     .fadeIn(2000);
     index = (index < total_a) ? index + 1 : 0;// will increment if number of a is greater than index else 0 and continue like a slider..
   }, 2000);// better use 2000 ms as you're using 2000ms in the `fadeIn()`
 });

$(function(){
    $('.featured-promo a:gt(0)').hide();
    setInterval(function(){
    $('.featured-promo :first-child')
    .hide()
    .find('a')
    .fadeIn(2000)
    .end()
    .appendTo('.featured-promo');
}, 1000);

尝试find而不是next

在hide（）之后使用end（）：

$('.featured-promo :first-child')
        .hide()
        .end()
        .next('a')
        .fadeIn(2000)
        .end()
        .appendTo('.featured-promo');

试试这个：

$(function(){
    $('.featured-promo a:gt(0)').hide();
    setInterval(function(){
        $('.featured-promo').children('a .featured-print').eq(1).parent()
        .hide()
        .next('a')
        .fadeIn(2000)
        .end()
        .appendTo('.featured-prints');
}, 1000);