我尝试执行函数的蒙特卡罗积分，但采样不均匀。我需要这种方法既适用于对数尺度，也适用于极坐标的积分，因为我会将两者结合起来，并在半径中使用极坐标与对数尺度采样。
我写了一个测试脚本

• 在极坐标中积分2D高斯函数（应等于pi）
• 从10**-2到107以对数尺度积分y（x）= x（其应等于~0.5*1014）

为了测试的目的，我补充了一个统一的笛卡尔坐标为基础的Monte Carlo的工作计算。正是样本的不均匀性改变了我的结果。

import numpy as np

def function_to_integrate(x, y):
    return np.exp(-x**2 - y**2)

def polar_MC(polar):
    size = 100000
    integral = 0.
    integration_radius = 4.
    if polar:
        for _ in range(size):
            r = np.random.random()*integration_radius
            phi = np.random.random()*2.*np.pi
            x = r*np.cos(phi)
            y = r*np.sin(phi)
            jacobian_MC_polar = 1.
            integral += function_to_integrate(x, y) * jacobian_MC_polar
        integral = integral * np.pi * integration_radius**2 / size
    else:
        for _ in range(size):
            length = 2. * integration_radius
            x = np.random.random()*length - length/2.
            y = np.random.random()*length - length/2.
            integral += function_to_integrate(x, y)
        integral = integral * length**2 / size
    print('POLAR: True integral should be pi ', '; MC:', integral, polar)

def log_MC(log):
    size = 10000
    integral = 0.
    if log:
        for _ in range(size):
            x = np.random.uniform(-2, 7.)
            jacobian_MC_log = 1.
            integral += 10**x * jacobian_MC_log
    else:
        for _ in range(size):
            x = np.random.uniform(10**-2, 10**7)
            integral += x
    integral = integral*10**7 / size
    print('LOG: True integral should be 0.5*10**7*10**7 = 5*10**13; MC:', integral/10**13, '* 10**13', log)

polar_MC(polar=True)
polar_MC(polar=False)

log_MC(log=True)
log_MC(log=False)

字符串
我无法从极坐标和对数尺度蒙特卡罗得到正确的结果，我应该如何设置jacobian_MC才能使其工作？还是我做错了什么？
我试过使用标准的雅可比矩阵（r表示极坐标，r* np.log（10）表示对数），但这并没有帮助。
当雅可比数设为1时

POLAR: True integral should be pi  ; MC: 11.041032315593327 True
POLAR: True integral should be pi  ; MC: 3.108344559871783 False
LOG: True integral should be 0.5*10**7*10**7 = 5*10**13; MC: 0.48366198481209793 * 10**13 True
LOG: True integral should be 0.5*10**7*10**7 = 5*10**13; MC: 5.003437412553992 * 10**13 False

型
增加采样没有帮助，结果接近收敛。
我应该用什么概率分布来划分采样点？