Button不知道如何扩展MenuItem，除非你写一些代码告诉它如何扩展：

<Menu>
    <MenuItem>
        <MenuItem.Header>
            <Button Click="Button_Click">Hello</Button>
        </MenuItem.Header>
        <MenuItem Header="SubItem1"/>
        <MenuItem Header="SubItem2"/>
    </MenuItem>
</Menu>

private void Button_Click(object sender, RoutedEventArgs e)
{
    Button btn = (Button)sender;
    MenuItem mi = btn.Parent as MenuItem;
    if (mi != null)
        mi.IsSubmenuOpen = !mi.IsSubmenuOpen;
}

这是我的解决方案（我激活了 MaterialDesignInXAML，所以它看起来不同，但它是相同的）。
我是按照你的例子的相反方式做的：创建一个与菜单分离的按钮并隐藏菜单本身。

<StackPanel Orientation="Horizontal">
    <Menu>
        <!-- Set width=0 to hide the menu -->
        <MenuItem Width="0" x:Name="myMenu">
            <MenuItem Header="Settings"/>
            <MenuItem Header="Exit"/>
        </MenuItem>
    </Menu>
    <Button Content="Try me">
        <b:Interaction.Triggers>
            <b:EventTrigger EventName="Click">
                <b:ChangePropertyAction TargetObject="{Binding ElementName=myMenu}" PropertyName="IsSubmenuOpen" Value="True"/>
            </b:EventTrigger>
        </b:Interaction.Triggers>
    </Button>
</StackPanel>