方法一：使用类型族和约束

这可能不是最优雅的方法，但是.
这是类：

{-# LANGUAGE TypeFamilies #-}

import Data.Kind

data Vector a = V a a

class LinearMap m where
  type CMap m (a :: Type) :: Constraint
  apply :: CMap m a => m -> Vector a -> Vector a

字符串
这里，CMap m a是一个约束，定义了apply工作所需的条件。

data Rotation a = Rot a

instance LinearMap (Rotation a) where
  type CMap (Rotation a) a' = (Floating a, a ~ a')
  Rot phi `apply` V x y = V (c * x - s * y) (s * x + c * y)
    where
      (c, s) = (cos phi, sin phi)

型
对于Rotation a，我们需要a与Vector a中的a相同，因此我们需要类型相等a ~ a'。我们还需要Floating，以便可以使用cos。

data Reflection = XRefl | YRefl

instance LinearMap Reflection where
  type CMap Reflection a' = (Num a')
  XRefl `apply` V x y = V (-x) y
  YRefl `apply` V x y = V x (-y)

型
对于Rotation，我们只需要Num。任何数字a'都是允许的。

方法二：去掉fundep（？）

我现在想知道是否在类型类中使用两个参数会更好，就像在LinearMap m a中一样，并将约束移动到示例中。我们只是避免了fundep m -> a。

class LinearMap m a where
  apply :: m -> Vector a -> Vector a

data Rotation a = Rot a

instance Floating a => LinearMap (Rotation a) a where
  Rot phi `apply` V x y = V (c * x - s * y) (s * x + c * y)
    where
      (c, s) = (cos phi, sin phi)

data Reflection = XRefl | YRefl

instance Num a => LinearMap Reflection a where
  XRefl `apply` V x y = V (-x) y
  YRefl `apply` V x y = V x (-y)

型
我错过的这个简单的方法有什么问题吗？我们在类型推断过程中没有从x1m17 n1x推断出x1m16 n1x，因为我们缺乏fundep。这是一个真实的问题吗？

据我所知，我不能或不应该指定a是什么
你绝对可以指定a是什么。你是否应该是另一回事。大多数Haskell社区使用linear包，这确实使标量类型完全多态。IMO这没有什么意义，因为只有很少的类型在实践中作为标量有意义，而向量类型是完全参数化的函子是不明智的（因为在概念上，基的选择是任意的，但是fMap非线性函数破坏了对称性）。
所以what I advocate for实际上是使用 monomorphic vector类型，或者至少将它们视为monomorphic：

data Vector2D a = Vector2D a a

type ℝ² = Vector2D Double

字符串
同样，一个给定的线性Map示例将特定于一个具体的向量类型。有两种表达方式：

• 有一个关联的类型家族。事实上，你可能需要两个，分别用于domain和codomain：

class LinearMapTF m where
   type LinMapDomain m :: Type
   type LinMapCodomain m :: Type
   apply :: m -> LinMapDomain m -> LinMapCodomain m

型
这是我最清楚的，但它意味着每个线性Map类型都有一个特定的域和共域，特别是你不能让Reflection作用于不同类型的域。这和你的函数依赖是一样的。

• 作为一个多参数类型类。你已经在原来的，但我会删除标量类型的接口，有利于抽象向量空间，并删除功能依赖，如果你想让一些类型的线性Map，以不同的空间。坚持自同态的具体情况下，它只是

class LinearMapMP m v where
   apply :: m -> v -> v

型
尽管将向量空间视为非参数实体，但在这两种情况下都可以很好地交换标量类型。

data Rotation a = Rot a

instance LinearMapTF (Rotation a) where
  type LinMapDomain (Rotation a) = Vector2D a
  type LinMapCodomain (Rotation a) = Vector2D a
  Rot phi `apply` V x y = ...

instance a~b => LinearMapMP (Rotation a) (Vector2D b) where
  Rot phi `apply` V x y = ...

型
在这个例子中，两种方法基本上是等价的。在反射的情况下，它们是不同的：

data ReflectionFxd a = XRefl | YRefl

instance LinearMapTF (ReflectionFxd a) where
  type LinMapDomain (ReflectionFxd a) = Vector2D a
  type LinMapCodomain (ReflectionFxd a) = Vector2D a
  apply = ...

data ReflectionArb = XRefl | YRefl

instance LinearMapMP ReflectionArb (Vector2D a) where
  apply = ...

型
旁注：你所问的都与线性Map无关。你的例子实际上是 * 群作用于流形 * 的具体情况。例如，在球面上使用旋转是很有意义的。这是另一个动机，不要使用标量参数向量类型，而是表示拓扑空间的抽象类型。我也是have a package going in that direction。