正交性并不意味着这个矩阵是正交的。它意味着如果i != j，则P_i(x)P_j(x)w(x)从-1到1的积分为0，如果i = j，则为1，其中w是权重函数。参数为alpha的Gegenbauer多项式的权重函数为(1 - x^2)^(alpha - 1/2)。
你可以用orthopolynom包得到这些多项式。

library(orthopolynom)
alpha <- 1
gp.list <- gegenbauer.polynomials(3, alpha, normalized = FALSE)
print(gp.list)
# [[1]]
# 1 
# 
# [[2]]
# 2*x 
# 
# [[3]]
# -1 + 4*x^2 
# 
# [[4]]
# -4*x + 8*x^3 

w <- function(x) { # the weight function
  (1 - x^2)^(alpha - 1/2)
}
GP2 <- function(x) {
  -1 + 4*x^2
}
GP3 <- function(x) {
  -4*x + 8*x^3
}

f <- function(x) {
  GP2(x) * GP3(x) * w(x)
}
integrate(f, lower = -1, upper = 1) # should be zero
# 0 with absolute error < 1.4e-14

f <- function(x) {
  GP3(x) * GP3(x) * w(x)
}
integrate(f, lower = -1, upper = 1) # should be pi/2
# 1.570796 with absolute error < 6e-07

字符串
这里P_i(x)²w(x)的积分不是1，因为我取了normalized = FALSE。