我正在尝试编写一个函数，该函数将方形或非方形矩阵作为输入，并返回行的子集，以便返回的矩阵是满秩的。我还需要跟踪哪些线性相关行被删除。尽管我的示例很简单，但矩阵并不总是二进制值。
似乎有很多关于这个主题的线程（例如How to find linearly independent rows from a matrix），这让我尝试了QR分解方法：
def reduce_to_full_rank(A):
Q, R = np.linalg.qr(A)
to_keep = (np.abs(np.diag(R)) > 1e-10)
return A[to_keep]字符串
我不明白的是，为什么这种方法似乎取决于A中的行的顺序。
例如，给定输入：
A = np.array(
[
[1,1,0],
[1,1,0],
[1,1,1],
]
)型
下面的代码打印秩为2，这是有意义的，因为[1，1，0]和[1，1，1]是独立的。
Q, R = np.linalg.qr(A)
rank = (np.abs(np.diag(R)) > 1e-10).sum()
print(rank)型
但是，如果我把A的顺序改为：
A = np.array(
[
[1,1,1],
[1,1,0],
[1,1,0],
]
)型
同样的代码会输出秩为1的结果，因为R的对角线上只有一个非零元素。
有没有人可以帮助我理解：
1.为什么R中非零对角元素的数量取决于A中行的顺序？
1.如果这是QR分解的某种基本限制，我还能怎么解决这个问题呢？
谢谢你，谢谢
1条答案
按热度按时间pod7payv1#
实际上，这可能取决于硬件。
所以，在我的情况下，
个字符
这是一个正确的Q/R分解，因为Q是正交的
型
基本上是恒等的。所以Q是正交的。
R是三角形。
和
型
基本上是原始的矩阵。
但是你的Q/R也是正确的（有更大的错误，但这可能是因为复制和粘贴numpy的输出，它被截断了）
型
同样
型
接近身份（再次，1 e-10而不是1 e-17是因为论坛中的复制和粘贴）
Q也是正交的
你的R也是三角形，
型
所以两者都是同一矩阵的正确QR分解。毫无疑问。这是数学，而不是numpy（即使我用numpy验证了这一点，但至少，这是相同的numpy，它说两者都是好的。另外，我确信任何其他线性代数，甚至只是纸和笔都会说同样的话）
因此，如果同一矩阵的两个正确的QR分解在对角线上的0元素的数量不相同，这意味着我一开始忽略的假设（假设是真的，没有考虑太多，因为它来自math. stackexchange.）是假的。这不是一个 numpy 问题。只是，如果相同秩矩阵（甚至是相同矩阵）的2个正确QR分解在对角线上的0元素的个数不相同，则证明对角线上的0元素的个数不是一个准则。
如果你仔细想想，这是很合乎逻辑的。
你所知道的是Q是由独立的行和列组成的（至少在正方形的情况下是这样），而R列是如何将Q列合并组合成A=QR列。
所以，在我的例子中，A的第一列只是（对于乘法因子）Q的第一列。
A的第二列是相同的，因为Q的第二列和第一列是相同的。对于我们的两个分解。对角线元素中的0确实证明了我们不会使用“新”向量来创建A的第二列;只有我们已经为第一列使用的向量。因此，秩下降了-1。在我们的两个例子中。
场景不同之处（以及考虑解释变得重要的地方）是第三列。
在我的例子中，R的第3列有3个非零值（因此对角线元素上的非0，但这并不重要）。所以，这意味着我将使用A“新”向量的第3列，这是我第一次有一个非--第二和第三行为零。所以第一次我将合并的第二和第三列Q。所以，这是一个新的维度。没有秩减少。
在你的例子中，R的第三列只有两个非零值。对角元素是0。但这并不重要。重要的是，第二行第一次是非零的。你用Q的第二列来创建A的第三列，这是第一次。你还没有对前两列这样做。所以，这也是一个新的维度。所以，尽管对角线上的值为0，但等级没有降低。
因此，重要的不是对角线值是否为非0，而是新的一行是否为非0，在之前所有列中为0的一行是否为非0。
在满秩的情况下，确实是在对角线值上，但在非满秩的情况下，“新的非0”可能在对角线上，或者可能更高。
因此，对角线唯一相关的情况是证明矩阵是否满秩。如果R的对角线上有0，则矩阵不是满秩的。否则它是满秩的。
所以，简短的回答：R的对角线上的非零元素的数量不是秩。